Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，4)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)D是x軸上(在點(diǎn)O右側(cè))任意一點(diǎn)，以AD為邊向右側(cè)作正方形ADEF，連接BF，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t，0)處.

(1)求證：△AOD≌△ABF；

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo)(用含有t的代數(shù)式來表示)；

(3)當(dāng)△DBE是等腰三角形時，請直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2) E(4+t,t) (3) 2,4,8.

【解析】

（1）由四邊形ABCO和ADFE是正方形，得∠AOD=∠ABF=90°，AO=AB=4，AD=AF，即可利用HL證明△AOD≌△ABF；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，然后證明△AOD≌△DHE，得到DH=OA=4，OD=EH=t，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）由（2）知點(diǎn)D為（t，0），點(diǎn)B為（4，4），點(diǎn)E為（4+t，t），利用勾股定理求出BD、BE、DE的長度，由△DBE是等腰三角形時，可分為三種情況進(jìn)行討論，即當(dāng)BD=DE，BD=BE，DE=BE時，求出t的值即可.

（1）證明：根據(jù)題意，OA=OC=AB=BC=4，∠AOC=90°，

∴四邊形ABCO是正方形，

∴∠AOC=∠ABF=90°，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，

∴△AOD≌△ABF（HL）；

（2）解：如圖：過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵∠AOD=∠ADE=90°，

∴∠OAD+∠ADO=∠EDH+∠ADO=90°，

∴∠OAD=∠EDH，

∵AD=DE，∠AOD=∠DHE=90°，

∴△AOD≌△DHE（AAS），

∴AO=DH=4，OD=EH=t，

∴OH=4+t，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（4+t，t）；

（3）由（2）可知，點(diǎn)D為（t，0），點(diǎn)B為（4，4），點(diǎn)E為（4+t，t），

∴，，，

∵△DBE是等腰三角形，

當(dāng)BD=DE時，有

，

解得：；

當(dāng)BD=BE時，有

，

解得：或（舍去）；

當(dāng)DE=BE時，有

，

解得：或（舍去）；

∴當(dāng)，4或8時，△DBE是等腰三角形.