Question

【題目】如圖：拋物線y=ax2＋bx＋c交y軸于點C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點D，頂點為M，且DM=OC＋OD，

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點P（x,y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個動點，△PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍,并求當x取多少時，S的值最大，最大是多少？

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=－ (x－2)2＋6；（2）S=－x2＋4x，0＜x＜2＋2；當x=4時，S有最大值為8.

【解析】（1）∵OC=4，OD=2，∴ DM=6，

∴ 點M（2，6）

設(shè)y=a（x－2）2＋6，代入（0，4）得：a=－，

∴該拋物線解析式為y=－ （x－2）2＋6．

（2）設(shè)點P（x，－ （x－2）2＋6），即（x，－ x2＋2x＋4），過點P做x軸的垂線，交直線CD于點F，設(shè)直線CD為y=kx＋4，代入（2，0）得k=－2，即y=－2x＋4，

∴點F（x，－2x＋4）．

∴PF=－x2＋2x＋4－（－2x＋4）=－x2＋4x．

∴S=·2·（－x2＋4x）=－x2＋4x．

令y=a（x－2）2＋6=0，解得x 1=2＋2，x 2=2－2（舍去）

∴0＜x＜2＋2．

∵S=－x2＋4x=－ （x－4）2＋8，∴當x=4時，S有最大值為8．