【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A (1,0)、B(0,3)及C(3,0)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)D從原點(diǎn)O開(kāi)始沿OB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C開(kāi)始沿CO方向以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)D、E同時(shí)出發(fā),當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)原點(diǎn)O時(shí),點(diǎn)D、E停止運(yùn)動(dòng).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)若F(﹣1,0),求DEF的面積S與E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式;當(dāng)t為何值時(shí),DEF的面積最大?最大面積是多少?

(3)當(dāng)DEF的面積最大時(shí),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)N,使EBN是直角三角形?若存在,求出N點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x2﹣4x+3,(2,﹣1);(2)當(dāng)t=2時(shí),S最大=2;(3)N點(diǎn)的坐標(biāo)(2,2),(2,1),(2,),(2,).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式,根據(jù)配方法,可得頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)根據(jù)三角形的面積公式,可得函數(shù)解析式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案;

(3)根據(jù)勾股定理的逆定理,可得關(guān)于a的方程,根據(jù)解方程,可得N點(diǎn)坐標(biāo).

解:(1)將A (1,0)、B(0,3)及C(3,0)代入函數(shù)解析式,得

,

解得

拋物線(xiàn)的解析式為y=x2﹣4x+3,

配方,得y=(x﹣2)2﹣1,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣1);

(2)如圖1

,

由題意,得

CE=t,OE=3﹣t,F(xiàn)E=4﹣t,OD=t.

S=FEOD=(4﹣t)t=﹣t2+2t=﹣(t﹣2)2+2,

當(dāng)t=2時(shí),S最大=2;

(3)當(dāng)DEF的面積最大時(shí),E(1,0),設(shè)N(2,a),

BN2=4+(a﹣3)2,EN2=1+a2,BE2=1+9=10,

①當(dāng)BN2+EN2=BE2時(shí),4+9﹣6a+a2+a2+1=10,化簡(jiǎn),得

a2﹣3a+2=0,解得a=2,a=1,N(2,2),N(2,1);

②當(dāng)BN2+BE2=EN2時(shí),4+9﹣6a+a2+10=1+a2,化簡(jiǎn),得

6a=22,解得a=,N(2,);

③當(dāng)BE2+EN2=BN2時(shí),1+a2+10=4+9﹣6a+a2,

化簡(jiǎn),得

6a=2,解得a=,N(2,),

綜上所述:N點(diǎn)的坐標(biāo)(2,2),(2,1),(2,),(2,).

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x … ﹣1 0 1 2 3 …

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(1)求二次函數(shù)的解析式;

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