【題目】如圖,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延長CA至點E,使AE=AC;延長CB至點F,使BF=BC.連接AD,AF,DF,EF.延長DB交EF于點N.
(1)求證:AD=AF;
(2)求證:BD=EF;
(3)試判斷四邊形ABNE的形狀,并說明理由.
【答案】
(1)證明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABF=135°,
∵∠BCD=90°,
∴∠ABF=∠ACD,
∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,
在△ABF和△ACD中,
,
∴△ABF≌△ACD(SAS),
∴AD=AF
(2)證明:由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,
∴∠FAB=∠DAC,
∵∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠BAC=90°,
∴∠EAF=∠BAD,
在△AEF和△ABD中,
,
∴△AEF≌△ABD(SAS),
∴BD=EF
(3)解:四邊形ABNE是正方形;理由如下:
∵CD=CB,∠BCD=90°,
∴∠CBD=45°,
由(2)知,∠EAB=90°,△AEF≌△ABD,
∴∠AEF=∠ABD=90°,
∴四邊形ABNE是矩形,
又∵AE=AB,
∴四邊形ABNE是正方形
【解析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=45°,求出∠ABF=135°,∠ABF=∠ACD,證出BF=CD,由SAS證明△ABF≌△ACD,即可得出AD=AF;(2)由(1)知AF=AD,△ABF≌△ACD,得出∠FAB=∠DAC,證出∠EAF=∠BAD,由SAS證明△AEF≌△ABD,得出對應(yīng)邊相等即可;(3)由全等三角形的性質(zhì)得出得出∠AEF=∠ABD=90°,證出四邊形ABNE是矩形,由AE=AB,即可得出四邊形ABNE是正方形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,BG⊥AE,垂足為G.若BG=4 ,則△CEF的面積是( )
A.
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于下列結(jié)論: ①二次函數(shù)y=6x2 , 當x>0時,y隨x的增大而增大.
②關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1(a、m、b均為常數(shù),a≠0),則方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=﹣4,x2=﹣1.
③設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx+c,當x≤1時,總有y≥0,當1≤x≤3時,總有y≤0,那么c的取值范圍是c≥3.
其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD,AB∥DC,∠B=55°,∠1=85°,∠2=40°
(1)求∠D的度數(shù);
(2)求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=∠COD=90°,∠BOC=34°.
(1)判斷∠BOC與∠AOD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)若OE平分∠AOC,求∠EOC的余角的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形紙片ABCD的邊長為3,點E、F分別在邊BC、CD上,將AB、AD分別沿AE、AF折疊,點B,D恰好都落在點G處,已知BE=1,則EF的長為( )
A.1.5
B.2.5
C.2.25
D.3
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形ABCD是任意四邊形,AC與BD交于點O.試說明:AC+BD> (AB+BC+CD+DA).
解:在△OAB中有OA+OB>AB,
在△OAD中有______________,
在△ODC中有______________,
在△________中有______________,
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OB+OC>AB+AD+CD+BC,
即________________________.
∴AC+BD> (AB+BC+CD+DA).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】問題的提出:如果點P是銳角內(nèi)一動點,如何確定一個位置,使點P到的三頂點的距離之和的值為最小?
問題的轉(zhuǎn)化:把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,這樣就把確定的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了,請你利用圖1證明:;
問題的解決:當點P到銳角的三頂點的距離之和的值為最小時,求和的度數(shù);
問題的延伸:如圖2是有一個銳角為的直角三角形,如果斜邊為2,點P是這個三角形內(nèi)一動點,請你利用以上方法,求點P到這個三角形各頂點的距離之和的最小值.
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