Question

【題目】如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，垂足為E，點D在CA的延長線上，若∠DAB+
∠AOB=60°

（1）求∠AOB的度數(shù)；
（2）若AE=1，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵OA⊥BC，OC=OB，

∴∠AOC=∠AOB，∠ACO=∠ABO，

∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB，∠ACO=∠OAB，

∴∠DAB=∠AOC，

∴∠DAB=∠AOB，又∠DAB+∠AOB=60°，

∴∠AOB=30°；

（2）解：∵∠AOB=30°，

∴BE= OB，

設(shè)⊙O的半徑為r，則BE= r，OE=r﹣1，

由勾股定理得，r2=（ r）2+（r﹣1）2，

解得r=4 ，

∵OB=OC，∠BOC=2∠AOB=60°，

∴BC=r=4 ．

【解析】（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理和三角形的外角的性質(zhì)證明∠DAB=∠AOB，求出∠AOB的度數(shù)；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE= OB，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理求出r，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到答案．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．