【題目】已知點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上.
(Ⅰ)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo),并求出的值;
(Ⅱ)求點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),并在軸上找一點(diǎn),使得最短,求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅲ)平移拋物線,記平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,點(diǎn)是軸上的定點(diǎn).
①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí),最短,求此時(shí)拋物線的解析式;
②是軸上的定點(diǎn),當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí),四邊形的周長(zhǎng)最短,求此時(shí)拋物線的解析式(直接寫出結(jié)果即可)
【答案】(Ⅰ),頂點(diǎn)坐標(biāo)為,;(Ⅱ)的坐標(biāo)是;(Ⅲ)①;②.
【解析】
(Ⅰ)把(-4,8)代入y=ax2可求得a的值,把x=2代入所求的拋物線解析式,可得n的值,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得定點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)由點(diǎn)的坐標(biāo),得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.連接AP交x軸于點(diǎn)Q,此時(shí)最短,用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式,求得AP與x軸的交點(diǎn)即為Q的坐標(biāo);
(Ⅲ)①A′C+CB′最短,說(shuō)明拋物線向左平移了線段CQ的距離,根據(jù)平移的規(guī)律即可求出平移后的解析式;
②設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位,則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b,8)和B′(2-b,2).將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′(-b,2),點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-b,-8),用含b的代數(shù)式表示出直線A′′B′′的解析式,將點(diǎn)D(-4,0)代入直線A′′B′′的解析式,求出b即可.
解:(Ⅰ)∵點(diǎn)在拋物線上,
得,解得,
∴該拋物線的解析式為,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
∵點(diǎn)在拋物線上,
得.
(Ⅱ)由點(diǎn)的坐標(biāo),得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.連接AP交x軸于點(diǎn)Q,此時(shí)最短,
設(shè)直線的解析式為,
則解得
∴直線的解析式是.
令,得,
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是.
根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短” 此時(shí)點(diǎn)滿足題意.
(Ⅲ)①,
故將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),最短.
此時(shí)拋物線的解析式為.
②∵線段A′B′和CD的長(zhǎng)是定值,
∴要使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短,只要使A′D+CB′最短;
設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位,
則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b,8)和B′(2-b,2).
∵CD=2,
∴將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′(-b,2),要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短,
點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-b,-8),
設(shè)直線A′′B′′的解析式為y=mx+n,
則,
∴m=,n=b+2,
∴直線A′′B′′的解析式為y=x+b+2.
要使A′D+DB′′最短,點(diǎn)D應(yīng)在直線A′′B′′上,
將點(diǎn)D(-4,0)代入直線A′′B′′的解析式,
-10+b+2=0,
解得b=,
∴將拋物線向左平移時(shí),存在某個(gè)位置,使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短,
此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為y=(x+)2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知二次函數(shù).
(1)將化成的形式為________;
(2)此函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為________;
(3)在平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象(不用列表);
(4)直接寫出當(dāng)時(shí),的取值范圍.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn),DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED為矩形;
(2)在BC上截取CF=CO,連接OF,若AC=16,BD=12,求四邊形OFCD的面積.
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【題目】如圖1是一款優(yōu)雅且穩(wěn)定的拋物線型落地?zé)簦阑菽?/span>C為拋物線支架的最高點(diǎn),燈罩D距離地面1.86米,點(diǎn)最高點(diǎn)C距燈柱的水平距離為1.6米,燈柱AB及支架的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示.若茶幾擺放在燈罩的正下方,則茶幾到燈柱的距離AE為__米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),B點(diǎn)與C點(diǎn)是直線y=x﹣3與x軸、y軸的交點(diǎn).D為線段AB上一點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及A點(diǎn)坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)D在線段OB上,過(guò)D點(diǎn)作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)E,求出點(diǎn)E到直線BC的距離的最大值.
(3)D為線段AB上一點(diǎn),連接CD,作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′、B′D
①當(dāng)點(diǎn)B′落坐標(biāo)軸上時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
②在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△AB′D的內(nèi)角能否等于45°,若能,求此時(shí)點(diǎn)B′的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】若關(guān)于x,y的二元一次方程組的解均為正整數(shù),m也是正整數(shù),則滿足條件的所有m值的和為____.
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【題目】已知△ABC中,∠ABC=45°,AB=7,BC=17,以AC為斜邊在△ABC外作等腰Rt△ACD,連接BD,則BD的長(zhǎng)為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,6),其對(duì)稱軸為直線x=.在x軸上方作平行于x軸的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在對(duì)稱軸的右側(cè)),過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線,垂足分別為D、C.設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m.
(1)求此拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)當(dāng)m為何值時(shí),矩形ABCD為正方形.
(3)當(dāng)m為何值時(shí),矩形ABCD的周長(zhǎng)最大,并求出這個(gè)最大值.
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【題目】問(wèn)題提出:
(1)如圖1,在四邊形中,已知:,,,的面積為8,求邊上的高.
問(wèn)題探究
(2)如圖2在(1)的條件下,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,,連接,求的面積
問(wèn)題解決
(3)如圖3,在(1)的條件下,點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn),連接、,若,的面積是否存在最小值;若存在,求出最小值;若不存在;請(qǐng)說(shuō)明理由.
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