Question

有一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，其中AB=3，BC=4，將它折疊后，可使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合（圖1），也可使點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)E重合（圖2），也可使點(diǎn)C與AD上的點(diǎn)E重合（圖3），折痕為線段FG．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，則折痕FG的長(zhǎng)為

 

．
（2）如圖2，點(diǎn)E在AB上，且AE=1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，則折痕FG的長(zhǎng)為

 

．
（3）如圖3，當(dāng)C與AD上的點(diǎn)E重合，折痕FG與邊BC、CD分別相交于點(diǎn)F、G，AE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域．
（4）如果折疊后，使點(diǎn)C與這張紙的邊上點(diǎn)E重合，且DG=1，那么點(diǎn)E可以在邊

 

 上（寫出所有可能的情況）．

Answer 1

分析：（1）連接CG，可證△AHG∽△CBA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出HG的長(zhǎng)度；易證△AHG≌△CHF，則FG=2HG；
（2）連接CG，EG，則FG垂直平分CE．易證△CHF∽△CBE，得出CH=2HF．在直角△BCE中，運(yùn)用勾股定理，可出CE的長(zhǎng)度，求出HF的值；設(shè)DG=y，由GE=GC，運(yùn)用勾股定理求出y的值，得到CG的長(zhǎng)度，從而在直角△CHG中，由勾股定理計(jì)算出GH的值，則GF=GH+HF；
（3）過點(diǎn)F作FH⊥AD，H為垂足，連接FE．在直角△HFE中，運(yùn)用勾股定理可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并根據(jù)條件得到函數(shù)的定義域；
（4）（2）中點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，且DG=1，即點(diǎn)E可以在邊AB上，同樣，可知點(diǎn)E可以在邊AD、BC上．

解答：解：（1）連接CG．
∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于FG對(duì)稱，
∴FG垂直平分AC，
∴∠AHG=90°，AH=

1

2

AC=2.5．
在△AHG與△CBA中，∵∠AHG=∠CBA，∠GAH=∠ACB，
∴△AHG∽△CBA，
∴HG：AB=AH：BC，
∴HG=3×2.5÷4=

15

8

．
在△AHG與△CHF中，
∠GAH=∠HCF，AH=CH，∠AHG=∠CHF，
∴△AHG≌△CHF，
∴HG=HF，
∴FG=2HG=

15

4

；

（2）連接CG，EG，則FG垂直平分CE．
在△CHF與△CBE中，∠CHF=∠B=90°，∠HCF=BCE，
∴△CHF∽△CBE，
∴HF：BE=CH：BC，
∴CH=2HF．
設(shè)HF=x，則CE=2CH=4x．
在△BCE中，∠B=90°，
∴CE²=BE²+BC²，
∴16x²=4+16，
∴x=

5

2

．
設(shè)DG=y，則AG=4-y．
∵GE=GC，
∴1²+（4-y）²=3²+y²，
∴y=1．
∴GC²=DG²+CD²=1+9=10，
∴GH²=GC²-CH²=10-5=5，
∴GH=

5

，
∴GF=GH+HF=

5

+

5

2

=

3

2

5

；

（3）過點(diǎn)F作FH⊥AD，H為垂足，連接FE．則FE=FC=4-y，HE=x-y，F(xiàn)H=3，
由勾股定理有（x-y）²+3²=（4-y）²，
從而得y=

x2-7

2x-8

（1＜x＜

7

）；

（4）AB、AD、BC．
故答案為

15

4

；

3 5

2

；AB、AD、BC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱、矩形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．