Question

【題目】如圖，已知直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax2+4ax+b經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式：

（2）點(diǎn)Q在拋物線上，且S△AQC=S△BQC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）Q（﹣4，2）或（﹣，﹣）.

【解析】

（1）先求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題;（2）①分點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，根據(jù)平行線間的距離相等可得當(dāng)CQ∥AB時(shí)，△AQC和△BQC面積相等，然后根據(jù)點(diǎn)Q與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，利用拋物線解析式列式計(jì)算即可得解；②點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，設(shè)CQ與x軸相交于點(diǎn)D，根據(jù)△AQC和△BQC面積相等可知AD=BD，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，與拋物線聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（1）∵當(dāng)y=0時(shí)，則有x+2=0，解得x=﹣5，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣5，0），

∵當(dāng)x=0時(shí)，則有y=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），

∵拋物線y=ax2+4ax+b經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，把（0，2）（﹣5，0）代入得

∴，解得，

∴拋物線為y=﹣x2﹣x+2．

（2）①當(dāng)Q在x軸上方時(shí)（如圖1），

△ACQ和△BCQ同底，若它們的面積相等，則A、B到直線CQ的距離相等，即CQ∥AB；

∵拋物線的對稱軸為x=﹣2，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣4，2）；

②當(dāng)Q在x軸下方時(shí)（如圖2），

，設(shè)CQ與x軸交于點(diǎn)D，若△AQC和△BQC面積相等，則有AD=BD

令y=0，則﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣5，x2=1，即AB=6

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0）

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，把（0，2）（﹣2，0）代入得

解得,

∴直線CD的解析式為y=x+2，

∵點(diǎn)Q在直線CD與拋物線上，

∴x+2=﹣x2﹣x+2，解得x1=0，x2=﹣，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣，﹣）；

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣4，2）或（﹣，﹣）