【題目】在△ABC中,D是BC的中點,且AD=AC,DE⊥BC,與AB相交于點E,EC與AD相交于點F.
(1)求證:△ABC∽△FCD;
(2)若DE=3,BC=8,求△FCD的面積.
【答案】
(1)證明:∵D是BC的中點,DE⊥BC,
∴BE=CE,
∴∠B=∠DCF,
∵AD=AC,
∴∠FDC=∠ACB,
∴△ABC∽△FCD.
(2)解:過A作AG⊥CD,垂足為G.
∵AD=AC,
∴DG=CG,
∴BD:BG=2:3,
∵ED⊥BC,
∴ED∥AG,
∴△BDE∽△BGA,
∴ED:AG=BD:BG=2:3,
∵DE=3,
∴AG= ,
∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,
∴ =( )2= .
∵S△ABC= ×BC×AG= ×8× =18,
∴S△FCD= S△ABC= .
【解析】(1)先證明∠B=∠DCF和∠FDC=∠ACB,可證得△ABC∽△FCD;
(2)過A作AG⊥CD,垂足為G.先證明△BDE∽△BGA,再由相似三角形的性質求得AG的長,由(1)知△ABC∽△FCD,利用面積比等于相似比的平方可求得△ABC的面積,進而可求得△FCD的面積.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識,掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E,F分別在BC,CD上,將△ABE沿AE折疊,使點B落在AC上的點B′處,又將△CEF沿EF折疊,使點C落在EB′與AD的交點C′處.則CF:AB的值為 .
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【題目】如圖,已知l1//l2,射線MN分別和直線l1,l2交于點A,B,射線ME分別和直線l1,l2交于點C,D,點P在射線MN上運動(P點與A,B,M三點不重合),設∠PDB=α ,∠PCA=β ,∠CPD=γ .
(1)如果點P在A,B兩點之間運動時,α,β,γ之間有何數量關系?請說明理由;
(2)如果點P在A,B兩點之外運動時,α,β,γ之間有何數量關系?
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【題目】如圖,△ABC的角平分線CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,下列結論:①∠CEG=2∠DCB;②∠ADC=∠GCD;③CA平分∠BCG;④∠DFB=∠CGE.其中正確的結論是( )
A. ②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
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【題目】如圖,直線AB與CD相交于O,OE⊥AB,OF⊥CD.
(1)圖中與∠AOF互余的角是______,與∠COE互補的角是______;(把符合條件的角都寫出來)
(2)如果∠AOC=∠EOF,求∠EOF的度數.
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【題目】如圖,兩個形狀、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如圖①放置,PA、PB與直線MN重合,且三角板PAC、三角板PBD均可繞點P逆時針旋轉.
(1)直接寫出∠DPC的度數.
(2)如圖②,在圖①基礎上,若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉,轉速為5°/秒,同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉,轉速為1°/秒,(當PA轉到與PM重合時,兩三角板都停止轉動),在旋轉過程中,當PC與PB重合時,求旋轉的時間是多少?
(3)在(2)的條件下,PC、PB、PD三條射線中,當其中一條射線平分另兩條射線的夾角時,請直接寫出旋轉的時間.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A(1,3 ),B(4,0)兩點.
(1)求出拋物線的解析式;
(2)在坐標軸上是否存在點D,使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形?若存在,求出點D的坐標;若不存在,說明理由;
(3)點P是線段AB上一動點,(點P不與點A、B重合),過點P作PM∥OA,交第一象限內的拋物線于點M,過點M作MC⊥x軸于點C,交AB于點N,若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN , 求出 的值,并求出此時點M的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A. ∠M=∠N B. AM=CN C. AB=CD D. AM∥CN
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【題目】如圖,⊙O中,直徑CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,連AD.
(1)求證:AD=AN;
(2)若AB=4 ,ON=1,求⊙O的半徑.
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