Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AD= 1,AB一2.將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB、CD交于點(diǎn)G、F,AE與FG交于點(diǎn)儀當(dāng)觸ED的外接圓與BC相切于BC的中點(diǎn)N.則折痕FG的長(zhǎng)為________

Answer 1

【答案】

【解析】試題解析：設(shè)AE與FG的交點(diǎn)為O．

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得AO=EO．

取AD的中點(diǎn)M，連接MO．

則MO=DE，MO∥DC．

設(shè)DE=x，則MO=x，

在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

∴AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．

延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，則ON∥CD．

∴∠CNM=180°-∠C=90°．

∴ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形．

∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．

∵△AED的外接圓與BC相切，

∴ON是△AED的外接圓的半徑．

∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．

在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，

∴12+x2=（4-x）2．

解這個(gè)方程，得x=．

∴DE=，OE=2-x=．

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得AE⊥FG．

∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．

又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．

∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．

∴FG=2FO=．

∴折痕FG的長(zhǎng)是.