Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，AB=，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)，已知點(diǎn)F的移動(dòng)速度是點(diǎn)E移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG，設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（0＜x＜6）．

（1）∠DCB=　 　度，當(dāng)點(diǎn)G在四邊形ABCD的邊上時(shí)，x=　 　；

（2）在點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G始終在BD或BD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)G在線段BD的中點(diǎn)時(shí)x的值；

（3）當(dāng)2＜x＜6時(shí)，求△EFG與四邊形ABCD重疊部分面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 30；2；（2）x=1；（3）當(dāng)x=時(shí)，y最大=；

【解析】

(1)如圖1中，作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形．AD=BH=3，BC=6，CH=BC﹣BH=3，當(dāng)?shù)冗吶�角�?/span>△EGF的高= 時(shí)，點(diǎn)G在AD上，此時(shí)x=2；

（2）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，根據(jù)三角函數(shù)，求出∠ADB=30°，根據(jù)中點(diǎn)的定義得出根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到,即可求出x的值；
（3）圖2，圖3三種情形解決問(wèn)題．①當(dāng)2<x<3時(shí)，如圖2中，點(diǎn)E、F在線段BC上，△EFG與四邊形ABCD重疊部分為四邊形EFNM；②當(dāng)3≤x<6時(shí)，如圖3中，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線BC上，重疊部分是△ECP；

（1）作DH⊥BC于H，則四邊形ABHD是矩形．

∵AD=BH=3，BC=6，

∴CH=BC﹣BH=3，

在Rt△DHC中，CH=3，

∴

當(dāng)?shù)冗吶�角�?/span>△EGF的高等于時(shí)，點(diǎn)G在AD上，此時(shí)x=2，∠DCB=30°，

故答案為：30，2，

（2）如圖

∵AD∥BC

∴∠A=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°

在Rt△ABD中，

∴∠ADB=30°

∵G是BD的中點(diǎn)

∴

∵AD∥BC

∴∠ADB=∠DBC=30°

∵△GEF是等邊三角形，

∴∠GFE=60°

∴∠BGF=90°

在Rt△BGF中，

∴2x=2即x=1；

（3）分兩種情況：

當(dāng)2＜x＜3，如圖2

點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上△GEF與四邊形ABCD重疊部分為四邊形EFNM

∵∠FNC=∠GFE﹣∠DCB=60°﹣30°=30°

∴∠FNC=∠DCB

∴FN=FC=6﹣2x

∴GN=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6

∵∠FNC=∠GNM=30°，∠G=60°

∴∠GMN=90°

在Rt△GNM中，

∴

∴當(dāng)時(shí)，最大

當(dāng)3≤x＜6時(shí)，如圖3，

點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，△GEF與四邊形ABCD重疊部分為△ECP

∵∠PCE=30°，∠PEC=60°

∴∠EPC=90°

在Rt△EPC中EC=6﹣x，

對(duì)稱軸為

當(dāng)x＜6時(shí)，y隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=3時(shí)，最大

綜上所述：當(dāng)時(shí)，最大