Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，A，C，且滿足過點C作CB⊥軸于點B.

(1)

(2)在軸上是否存在點P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖②，若過點B作BD∥AC交軸于點D，且AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）-2；2；4.（2）存在，P點坐標為（0，3），（0，-1）.（3）∠AED =45°.

【解析】

（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，則A（-2，0），C（2，2），B（2，0），然后根據(jù)三角形面積公式計算S△ABC；
（2）如圖③，AC交y軸于Q，先確定Q（0，1），設P（0，t），利用三角形面積公式和S△PAC=S△APQ+S△CPQ=S△ABC得到|t-1|2+|t-1|2=4，然后解方程求出t即可得到P點坐標；
（3）作EM∥AC，如圖②，則AC∥EM∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CAE=∠AEM，∠BDE=∠DEM，則∠AED=∠CAE+∠BDE，而∠CAE=∠CAB，∠BDE=∠ODB，所以∠AED=（∠CAB+∠ODB），而由AC∥BD得到∠CAB=∠OBD，于是∠CAB+∠ODB=∠OBD+∠ODB=90°，則∠AED=45°．

解：（1）∵（a+2）2+=0，
∴a+2=0，b-2=0，解得a=-2，b=2，
∴A（-2，0），C（2，2），
∵CB⊥x軸，
∴B（2，0），
∴S△ABC=×（2+2）×2=4；

故答案為：-2，2，4.

（2）存在．
如圖③，AC交y軸于Q，

設Q點坐標為（0，y），依據(jù)S△ABC=S△AOQ+S梯形BOQC得：

，

解得y=1，即Q為（0，1）。

設P（0，t），
∵S△PAC=S△APQ+S△CPQ，S△PAC =S△ABC=4，
∴|t-1|2+|t-1|2=4，解得t=3或t=-1，
∴P點坐標為（0，3），（0，-1）；
（3）作EM∥AC，如圖②，

∵AC∥BD，
∴AC∥EM∥BD，
∴∠CAE=∠AEM，∠BDE=∠DEM，
∴∠AED=∠CAE+∠BDE，
∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，
∴∠CAE=∠CAB，∠BDE=∠ODB，
∴∠AED=（∠CAB+∠ODB），
∵AC∥BD，
∴∠CAB=∠OBD，
∴∠CAB+∠ODB=∠OBD+∠ODB=90°，
∴∠AED=×90°=45°．