Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣2x﹣3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，a），與x軸相交于B、C兩點(diǎn)（B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)）．

（1）求a的值及B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且位于x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BD，若點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，求點(diǎn)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)P（m，-3)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線的頂點(diǎn)，在x軸、y軸分別找點(diǎn)M、N，使四邊形MNQP的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）5；（-1,0），（3,0） （2）（1，）；（1，） （3）（，0）；（0，）

【解析】

（1）把A（-2，a）代入y＝x2﹣2x﹣3可得a的值，分別 令y=0求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得B、C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)對(duì)稱(chēng)軸于BC的交點(diǎn)為E，先求出點(diǎn)C，點(diǎn)E坐標(biāo)，可求BC=4，BH=CH=2，由折疊的性質(zhì)可得BC'的長(zhǎng)，由勾股定理可求C'H，DH的長(zhǎng)，即可求解；

（4）作Q點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′（-1，-4），作點(diǎn)P（2，-3）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（2，3），連接Q′P′分別交x、y軸于點(diǎn)M、N，此時(shí)，四邊形QPMN的周長(zhǎng)最小，即可求解．

解：（1）把A（-2，a)代入y＝x2﹣2x﹣3，得a=5；

當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣2x﹣3=0 解得x1=3, x2=-1

∵B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)

∴B(-1,0)，C(3,0)

(2)如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H，則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），BH＝2，

由翻折得C′B＝CB＝4，

在Rt△BHC′中，由勾股定理，得，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（1，2），tan，

∴∠C′BH＝60°，

由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，

在Rt△BHD中，DH＝BHtan∠DBH＝2tan30°＝，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）．

（3）如圖2，

∵Q為拋物線的頂點(diǎn)，

∴Q（1，﹣4），

∴Q關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'（﹣1，﹣4），

∵P（m,-3）在拋物線上，

∴P（2，﹣3），

∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'（2，3），

連接Q′、P′分別交x、y軸于點(diǎn)M、N，此時(shí)，四邊形OPMN的周長(zhǎng)最小，，

設(shè)直線Q′P′的解析式為y=kx+b，則有

，解得，

∴直線P'Q'的解析式為y＝x﹣，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣；當(dāng)y=0時(shí)，x=;

∴M（，0），N（0，﹣）．