Question

已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，2

3

），B（-3，0），C（3，0），直線AC與反比例函數(shù)y=

k

x

在第一象限內(nèi)的圖象相交于A，M兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式；
（2）連接BM交AO于點(diǎn)N，求證：N是△ABC的重心；
（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)P使△BPO的周長(zhǎng)L取得最小值？若存在，求出L的最小值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)以及三角形的重心、軸對(duì)稱相結(jié)合的一道綜合試題．要求反比例函數(shù)的解析式，而點(diǎn)A圖象上，將其坐標(biāo)代入即可；要求點(diǎn)N是三角形的重心．由已知B、C的坐標(biāo)可知O是BC的中點(diǎn)．只要求出M是AC的中點(diǎn)就可，可以求出AC的解析式，利用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A、M作x軸的垂線于D、C．求出D、C的坐標(biāo)從而求出DC、EC的長(zhǎng)，由相似得到M是AC的中點(diǎn)，得N是重心；利用軸對(duì)稱找到O點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)O^|，作其x軸的垂線，連接CO^|，由三角函數(shù)求出∠ACD、∠ACO^|，的度數(shù)，求出O^|，的長(zhǎng)度在加上BO的長(zhǎng)度就是L的最小值．

解答：解：（滿分12分）（1）點(diǎn)A在y=

k

x

的圖象上，∴2

3

=

k

1

k=2

3

（2分）
∴y=

2 3

x

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)A、C的直線的表達(dá)式為y=k₁x+b由A（1，2

3

），C（3，0），

k 1+b=2 3 3k 1+b=0

k 1=-

3

，b=3

3

（4分）（各1分）
∴經(jīng)過(guò)AC的直線的表達(dá)式為y=-

3

x+3

3

∵直線AC與y=

k

x

的圖象交點(diǎn)為M，且k=2

3

，
∴直線y=-

3

x+3

3

與雙曲線y=

2 3

x

在M點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
∴

2 3

x

=-

3

x+3

3

，（5分）
解得：x=1或x=2，經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的根
∴A（1，2

3

）和M（2，

3

）（6分）
過(guò)A作垂線段AD⊥BC，垂足為D，則D（1，0）∴DC=2
過(guò)M作垂線段ME⊥BC，垂足為E，則E（2，0）∴EC=1
易證△CME∽△CAD，∴

CE

CD

=

CM

CA

=

1

2

，∴CM=

1

2

CA，M是AC中點(diǎn)，BM是△ABC的中線
又B（-3，0），C（3，0），∴O是BC中點(diǎn)，AO是△ABC的中線，∴N是△ABC的重心（7分）

（3）過(guò)O作直線AC的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接BO′交AC于P，
連接BP，PO，則△BPO周長(zhǎng)最小．（9分）
證明：∵O和O′關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴PO=PO′，∴BP+OP=BO′
在直線AC上任取異于P的點(diǎn)P′，連接BP′，OP′，P′O′，
則BP′+OP′=BP′+P′O′＞BO′，（10分）
∴BO′是BP+OP的最小值．又BO是定值，
∴此時(shí)△BPO周長(zhǎng)L最�。�
O、O′關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴△CPO≌△CPO′
OC=CO′=3，又AD=2

3

，DC=2，
∴tan∠ACD=

AD

DC

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ACD=60°，∴∠PCO'=∠ACD=60°，
∴CQ=1.5，QO′=

3

2

3

又BQ=BC+CQ=6+

3

2

=7

1

2

∴

BO′= ( 15 2 )2+( 3 2 3 )2 =3 7

∴最小值L=3

7

+3（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性較強(qiáng)，難度較大的綜合題目，解答中要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，利用解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，三角形的相似和全等以及解直角三角形的知識(shí)．解答中將圖形和數(shù)值結(jié)合．