Question

 如圖，已知拋物線與軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找到點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥PC交軸于點(diǎn)E．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，S_△PDE =S_{四邊形ABMC}．                                                  

Answer 1

解：（1）∵ 拋物線（）A（-1，0）、B（3，0）C（0，3）三點(diǎn)，

∴ ，解得  ．

∴ 拋物線的解析式為，頂點(diǎn)M為（1，4）．         

（2）∵ 點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

       ∴ 連結(jié)BC與拋物線對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，即為所求點(diǎn)P．

       設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，

∵ PH∥y軸，

∴ △PHB∽△CBO．

∴ ．

       由題意得BH=2，CO=3，BO=3，

 ∴ PH=2．

∴ P（1，2）．                 

（3）∵ A（-1，0）B（3，0），C(0，3)，M(1，4)，

   ∴ S_{四邊形ABMC}=9．

∵ S_{四邊形ABMC} =9S_△PDE， ∴=1．

      ∵ OC=OD，∴∠OCB=∠OBC= 45°．

∵ DE∥PC，∴∠ODE=∠OED= 45°．

∴ OD=OE=3-m．

∵ S_{四邊形PDOE}=，

∴ S_△PDE= S_{四邊形PDOE}- S_△DOE=（0<m<3）．

∴．解得，m₁=1， m₂=2．