Question

【題目】如圖，直線與頂點(diǎn)為的拋物線的交點(diǎn)在軸上，交點(diǎn)在軸上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）是否為直角三角形，請說明理由．

（3）在第二象限的拋物線上，是否存在異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，使與的面積相等？若存在，求出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．

（4）在第三象限的拋物線上求出點(diǎn)，使．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是直角三角形，理由見解析；（3）存在，；（4）點(diǎn).

【解析】

（1）待定系數(shù)法即可求出；

（2）取中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系判斷即可證明；

（3）設(shè)的解析式為，代入D點(diǎn)坐標(biāo)可求出，通過解方程，若有解，即可證明存在；

（4）設(shè)直線的解析式為并求出，進(jìn)而可求出直線的解析式，聯(lián)立BF與拋物線解析式即可求得.

解：（1）如圖，

由知，，．

則拋物線．

將代入，得．

∴．

∴拋物線解析式為．

（2）不是直角三角形．理由如下

由（1），，

∴頂點(diǎn)．

如圖，由（1），可得．

取中點(diǎn)．

則．∴．

∵，∴不是直角三角形．

（3）如圖，存在點(diǎn)，使．

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與平行的直線的解析式為．

將代入，得．∴．

∴的解析式為．

由，整理，得．

解得，．

當(dāng)時，．

∴．

（4）如圖，設(shè)直線的解析式為．

則解得，．

∴直線的解析式為．

∴經(jīng)過點(diǎn)與平行的直線的解析式為．

由，整理，得．

解得，或．

當(dāng)時，．

∴拋物線上點(diǎn)，滿足．