Question

如圖，已知直線AC：y=-

3

3

x+

2

3

3

交兩坐標軸于點A、C，△OAB是等腰直角三角形，∠B=90°，拋物y=mx²+3x過點B，將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在直線AC上的點B′處．
（1）求m的值；
（2）點B′的坐標，并說明點B′是否在拋物線上；
（3）求線段BB′的長．

Answer 1

分析：（1）要求m的值，先要求出B的坐標，即先要求出OA的長，已知了直線AC的解析式，那么不難得出A的坐標應該是（2，0），OA=2，那么B的坐標應該是（1，1）．將B的坐標代入二次函數(shù)的解析式中即可得出m的值．
（2）可過B′作B′D⊥OA于D，那么B′O=OB=

2

，B′D的長就是B′的縱坐標，OD的長就是B′的橫坐標，由于B′D是直角三角形OB′D和AB′D的公共直角邊，可圍繞這條直角邊，分別在兩個三角形中用OD表示出B′D的長，進而可求出OD和B′D的長，也就得出了B′的坐標，然后將B′的坐標代入二次函數(shù)的解析式中判定B′是否在拋物線上．
（3）已知了B、B′的坐標可根據(jù)坐標系中兩點距離的公式進行求解即可．

解答：解：（1）由于A是直線AC與x軸的交點，則A點的坐標應是（2，0）．
由于△OBA是等腰直角三角形，
因此BD點的坐標應該是（1，1），
將B點的坐標代入y=mx²+3x中，
則m+3=1，即m=-2，

（2）過B′作B′D⊥OA于D，設OD=a，
直角三角形OB′D中，OB′=OB=

2

，
根據(jù)勾股定理可得：B′D²=2-x²，
直角三角形B′DA中，AD=OA-OD=2-x，tan∠A=

B′D

AD

=

2 3 3

2

，
因此B′D=

3

3

（2-x），
因此：B′D²=2-x²=

1

3

（2-x）²
解得x=

1+ 3

2

（線段長不為負數(shù)，因此將負值舍去），
因此B′D=

2 2-( 1+ 3 2 )2

=

3 -1

2

，
因此B′的坐標是（

3 +1

2

，

3 -1

2

），
由（1）知拋物線的解析式為y=-2x²+3x．
當B′=

1+ 3

2

時，y=-2×（

1+ 3

2

）²+3×

1+ 3

2

=

3 -1

2

，
因此B′在拋物線上．

（3）因為B點的坐標是（1，1），B′的坐標是（

3 +1

2

，

3 -1

2

），
因此BB′=

( 1+ 3 2 -1)2+( 3 -1 2 -1)2

=

3

-1．

點評：本題結合了三角形的相關知識考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的綜合應用，
（2）中求B′坐標時，構建直角三角形運用好兩直角三角形的公共直角邊是解題的關鍵．