Question

如圖，已知直線AC：交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)A、C，△OAB是等腰直角三角形，∠B=90°，拋物y=mx²+3x過(guò)點(diǎn)B，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線AC上的點(diǎn)B′處．
（1）求m的值；
（2）點(diǎn)B′的坐標(biāo)，并說(shuō)明點(diǎn)B′是否在拋物線上；
（3）求線段BB′的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求m的值，先要求出B的坐標(biāo)，即先要求出OA的長(zhǎng)，已知了直線AC的解析式，那么不難得出A的坐標(biāo)應(yīng)該是（2，0），OA=2，那么B的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，1）．將B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式中即可得出m的值．
（2）可過(guò)B′作B′D⊥OA于D，那么B′O=OB=，B′D的長(zhǎng)就是B′的縱坐標(biāo)，OD的長(zhǎng)就是B′的橫坐標(biāo)，由于B′D是直角三角形OB′D和AB′D的公共直角邊，可圍繞這條直角邊，分別在兩個(gè)三角形中用OD表示出B′D的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OD和B′D的長(zhǎng)，也就得出了B′的坐標(biāo)，然后將B′的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式中判定B′是否在拋物線上．
（3）已知了B、B′的坐標(biāo)可根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的公式進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）由于A是直線AC與x軸的交點(diǎn)，則A點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)是（2，0）．
由于△OBA是等腰直角三角形，
因此BD點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，1），
將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=mx²+3x中，
則m+3=1，即m=-2，

（2）過(guò)B′作B′D⊥OA于D，設(shè)OD=a，
直角三角形OB′D中，OB′=OB=，
根據(jù)勾股定理可得：B′D²=2-x²，
直角三角形B′DA中，AD=OA-OD=2-x，tan∠A==，
因此B′D=（2-x），
因此：B′D²=2-x²=（2-x）²
解得x=（線段長(zhǎng)不為負(fù)數(shù)，因此將負(fù)值舍去），
因此B′D==，
因此B′的坐標(biāo)是（，），
由（1）知拋物線的解析式為y=-2x²+3x．
當(dāng)B′=時(shí)，y=-2×（）²+3×=，
因此B′在拋物線上．

（3）因?yàn)锽點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1），B′的坐標(biāo)是（，），
因此BB′==-1．
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合了三角形的相關(guān)知識(shí)考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，
（2）中求B′坐標(biāo)時(shí)，構(gòu)建直角三角形運(yùn)用好兩直角三角形的公共直角邊是解題的關(guān)鍵．