Question

【題目】在△ABC中，CA=CB，在△AED中，DA=DE，點(diǎn)D，E分別在CA，AB上．
（1）如圖①，若∠ACB=∠ADE=90°，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）若∠ACB=∠ADE=120°，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是；，

（3）若∠ACB=∠ADE=2α（0°＜α＜90°），將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，探究線(xiàn)段CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）BE= CD
（2）BE= CD
（3）解：BE=2CDsinα，

證明：如圖③，分別過(guò)點(diǎn)C、D作CM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AE于點(diǎn)N，

∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，

∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM= AB，AN= AE．

∴∠CAD=∠BAE，

Rt△ACM和Rt△ADN中，

sin∠ACM= ，sin∠ADN= ，

∴ ，

∴ ，

又∵∠CAD=∠BAE，

∴△BAE∽△CAD，

∴

∴BE=2DCsinα．

【解析】

解：（1）如圖①，作DM∥AB，交BC于點(diǎn)M，

∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，

∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，

∴DE∥BC，

∴四邊形EBMD是平行四邊形，

∴DM=BE，

∵DM∥AB，

∴∠CDM=45°，

∴DM= CD，

∴BE= CD；

所以答案是：BE= CD；（2）如圖②，

∵CA=CB，∠ACB=120°

∴∠CAB=∠CBA=30°，

∴AB= AC，

同理AE= AD，

∴ = = ，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，

∴△CAD∽△BAE，

= =

∴BE= CD；

所以答案是：BE= CD；

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)才能正確解答此題．