Question

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為 （0，2 ），點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，以E為頂點(diǎn)作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點(diǎn)F，C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=AB，拋物線y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn).

（1） 求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2） 求證：∠BEF=∠AOE；

（3） 當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4） 在（3）的條件下，當(dāng)直線EF交x軸于點(diǎn)D，P為（1） 中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PE交x軸于點(diǎn)G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（） 倍.若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=－x²－x+2（2）證明見(jiàn)解析（3）E坐標(biāo)為E(－1， 1)或E(－， 2－)（4）P(0， 2)或P （－1， 2）

【解析】解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。

∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8�！郃B=2。

∵OC=AB，∴OC=2， 即C （0， 2）。

∵拋物線y=-x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，得

，解得：。

∴拋物線的表達(dá)式為y=－x²－x+2。

（2）證明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。

   又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。

（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論

①當(dāng)OE=OF時(shí)， ∠OFE=∠OEF=45°，

在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。

又∵∠AOB＝90°，則此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合， 不符合題意， 此種情況不成立。

②如圖①，

 當(dāng)FE=FO時(shí)，∠EOF=∠OEF=45°。

在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°�！郋F∥AO。

∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。

又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。

∴BF=EF�！郋F=BF=OF=OB=×2＝1 �！� E(－1， 1)。

③如圖②， 當(dāng)EO=EF時(shí)， 過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H ，

在△AOE和△BEF中，

∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF，

 ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。

∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°�！唷螦OB=∠EHB。

∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。

在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2×=。

∴OH=OB－BH=2－2�！� E(－， 2－)。

綜上所述， 當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為E(－1， 1)或E(－， 2－)。

（4） P(0， 2)或P （－1， 2）。

（1）應(yīng)用勾股定理求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

（2）應(yīng)用等腰直角三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)可證。

（3）分OE=OF，F(xiàn)E=FO，EO=EF三種情況討論即可。

（4）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P。當(dāng)直線EF與x軸有交點(diǎn)時(shí)，由（3）知，此時(shí)E(－， 2－)。

如圖③所示，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H，

則OH=FH=2－。

由OE=EF，易知點(diǎn)E為Rt△DOF斜邊上的中點(diǎn)，即DE=EF。

過(guò)點(diǎn)F作FN∥x軸，交PG于點(diǎn)N。

易證△EDG≌△EFN，因此S_△EFN=S_△EDG。

依題意，可得S_△EPF=（）S_△EDG=（）S_△EFN，

∴PE：NE=。

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，分別交FN、EH于點(diǎn)S、T，則ST=TM=2－。

∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=。

∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。

∴PM=PT+TM=2，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2。

∴2=－x²－x+2，解得x₁=0，x₂=－1。

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0， 2)或（－1， 2）。

綜上所述，在直線EF上方的拋物線上存在點(diǎn)P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（）倍，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0， 2)或（－1， 2）。