Question

如圖，已知點B（1，3）、C（1，0），直線y=x+k是經(jīng)過點B，且與x軸交于點A，將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD．
（1）填空：A點坐標(biāo)為（

-2

，

0

），D點坐標(biāo)為（

-2

，

3

）；
（2）若拋物線y=

1

3

x2+bx+c經(jīng)過C、D兩點，求拋物線的解析式，
（3）將（2）中的拋物線沿y軸向上平移，設(shè)平移后所得拋物線與y軸交點為E，點M是平移后的拋物線與直線AB的公共點．在拋物線平移過程中是否存在某一位置使得直線EM∥x軸？若存在，此時拋物線向上平移了幾個單位長度？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點B的坐標(biāo)代入直線解析式求出k值，再令y=0求解得到點A的坐標(biāo)，求出AC=BC，然后根據(jù)翻折得到四邊形ACBD是正方形，然后寫出點D的坐標(biāo)即可；
（2）把點C、D的坐標(biāo)代入拋物線，利用待定系數(shù)法求出b、c的值，即可得解；
（3）設(shè)拋物線向上平移h個單位長度能使EM∥x軸，根據(jù)平移變換寫出平移后拋物線解析式，再求出點E的坐標(biāo)，根據(jù)平行于x軸的直線上的點的縱坐標(biāo)相等利用直線AB的解析式求出點M的坐標(biāo)，代入平移后的拋物線解方程求出h的值，然后求出點E、M的坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：（1）∵直線y=x+k經(jīng)過點B（1，3），
∴1+k=3，
解得k=2，
∴直線AB的解析式為y=x+2，
令y=0，則x+2=0，
解得x=-2，
∴點A（-2，0），
∴AC=BC=3，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC沿直線AB折疊得到△ABD，
∴四邊形ACBD是正方形，
∴D（-2，3）；
故答案為：-2，0；-2，3；

（2）∵拋物線y=

1

3

x²+bx+c經(jīng)過點C（1，0），D（-2，3），
∴

1 3 +b+c=0 4 3 -2b+c=3

，
解得

b=- 2 3 c= 1 3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

2

3

x+

1

3

；

（3）存在．
設(shè)拋物線向上平移h個單位長度能使EM∥x軸，
則平移后的拋物線解析式為y=

1

3

x²-

2

3

x+

1

3

+h=

1

3

（x-1）²+h，
∵平移后所得拋物線與y軸交點為E，
∴點E（0，

1

3

+h），
∵EM∥x，點M在直線AB上，
∴點M的縱坐標(biāo)為

1

3

+h，
∴x+2=

1

3

+h，
解得x=h-

5

3

，
∴點M的坐標(biāo)為（h-

5

3

，

1

3

+h），
又∵點M在平移后的拋物線上，
∴

1

3

（h-

5

3

-1）²+h=

1

3

+h，
解得h₁=

5

3

，h₂=

11

3

，
①當(dāng)h=

5

3

時，點E、M的坐標(biāo)都是（0，2），點E、M重合，不合題意舍去，
②當(dāng)h=

11

3

時，點E的坐標(biāo)為（0，4），M（2，4），符合題意，
綜上所述，拋物線向上平移

11

3

個單位長度能使EM∥x軸．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，翻折變換的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行于x軸的直線上的點的縱坐標(biāo)相同，難點在于（3）根據(jù)點M在直線AB上和平移后的拋物線列方程求解．