Question

已知：如圖，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于D點(diǎn)，過D作⊙O的切線交BC于E點(diǎn)，EF⊥AB于F點(diǎn)，連OE交DC于P，則下列結(jié)論，其中正確的有（　　）
①BC=2DE；     ②OE∥AB；   ③DE=

2

PD；    ④AC•DF=DE•CD．

• A、①②③
• B、①③④
• C、①②④
• D、①②③④

Answer 1

分析：本題是一道利用切線性質(zhì)解答的有關(guān)圓的知識(shí)題目，根據(jù)已知條件可以對已有的4個(gè)結(jié)論一一進(jìn)行求解證明，利用切線長定理可以得到P為中點(diǎn)，利用三角形的中位線得到平行，得到E為中點(diǎn)，得到相應(yīng)答案，利用三角形相似得到④AC•DF=DE•CD，從而得出答案．

解答：解：∵∠ACB=90°
∴BC是⊙O的切線
∵BC是⊙O的切線
∴OE垂直平分CD，∠OEC=∠OED
∴P是CD的中點(diǎn)
∴OP∥AB，
∴OE∥AB
②正確，
∴E是BC的中點(diǎn)
∵AC是直徑
∴∠ADC=90°
∴CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴BC=2DE，①正確；
∵EF⊥AB
∴∠DFE=∠ADC=90°
∵DE=CD，BC是⊙O的切線，
∴DE是⊙O的切線，
∴∠EDF=∠CAD，
∴△ACD∽△EDF
∴

AC

DE

=

CD

DF

∴AC•DF=DE•CD，④正確．
在四邊形PDFE中，我們可以證明它是矩形，而不具備證明它是正方形的條件，
∴DE=

PE2+PD2

只有PE=PD時(shí)DE才等于

2

PD．
∴③DE=

2

PD不成立
綜上所述，正確的是C
故選C

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長性質(zhì)及三角形的中位線的運(yùn)用