Question

如圖，直線AC與雙曲線在第二象限交于點A（x₀，y₀），交x軸的正半軸于點C，且|AO|=4，點A的橫坐標為-2，過點A作AB⊥x軸于點B，且S_△AOC：S_△AOB=3：2．
（1）求k的值及直線AC的解析式；
（2）在第二象限內雙曲線上有一動點P（r，m），設△BCP的面積為S．求S與r的函數關系式．

Answer 1

解：（1）∵|AO|=4，點A的橫坐標為-2，即OB=2，
∴∠BAO=30°，
∴AB=OB=2，
∴A點坐標為（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∵S_△AOC：S_△AOB=3：2，
∴OC：OB=3：2，而OB=2，
∴OC=3，
∴C點坐標為（3，0），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-2，2），C（3，0）代入得，-2k+b=2，3k+b=0，解得k=-，b=，
∴直線AC的解析式為：y=-x+；

（2）雙曲的解析式為y=-，
∵點P（r，m）在反比例函數圖象上，
∴m=-，r＜0，m＞0，
∴S=•BC•m
=•5•（-）
=-．
∴S與r的函數關系式為S=-（r＜0）．
分析：（1）∵|AO|=4，點A的橫坐標為-2，即OB=2，得到∠BAO=30°，則AB=OB=2，確定A點坐標為（-2，2），于是可求得k=-2×2=-4；再根據S_△AOC：S_△AOB=3：2，得到OC：OB=3：2，而OB=2，求出OC=3，得到C點坐標為（3，0），然后利用待定系數法即可求出直線AC的解析式；
（2）點P（r，m）在反比例函數圖象上得到m=-，r＜0，m＞0，再根據三角形的面積公式得S=•BC•m=•5•（-），整理即可．
點評：本題考查了已知一點的坐標確定反比例函數圖象的解析式．也考查了利用待定系數法求直線的解析式的方法以及三角形的面積公式．