Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，對于點A和線段BC，給出如下定義：若△ABC是等腰直角三角形，則稱點A為BC的“等直點”；特別的，若△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則稱點A為BC的“完美等直點”．

（1）若B（﹣2，0），C（2，0），則在D（0，2），E（4，4），F（﹣2，﹣4），G（0，）中，線段BC的“等直點”是　 　；

（2）已知B（0，﹣6），C（8，0）．

①若雙曲線y＝上存在點A，使得點A為BC的“完美等直點”，求k的值；

②在直線y＝x+6上是否存在點P，使得點P為BC的“等直點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若B（0，2），C（2，0），⊙T的半徑為3，圓心為T（t，0）．當在⊙T內(nèi)部，恰有三個點是線段BC的“等直點”時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）D和F；（2）①k的值是﹣49或1；②點P為BC的“等直點”，且P（2，8）；（3）t的取值范圍﹣＜t≤2﹣或1≤t≤4﹣或≤t＜3．

【解析】

（1）如圖1，哪個點與線段BC構(gòu)建等腰直角三角形，哪個點就是線段BC的“等直點”，觀察圖形可得；

（2）①分兩種情況：點A在第一象限和第四象限，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，設(shè)AE＝x，利用勾股定理列方程可得A的坐標，代入雙曲線y＝中，可得k的值；

②如圖3，過C作PC⊥BC，交直線y＝x+6于點P，過P作PE⊥x軸于E，證明△PEC∽△COB，得，設(shè)CE＝3x，PE＝4x，則PC＝5x，AE＝PE＝4x，根據(jù)OE＝4x﹣6＝8﹣3x，可得x的值，得△ABC是等腰直角三角形，可得結(jié)論；

（3）分三種情況：①在⊙T內(nèi)部，恰有三個點A，O，G是線段BC的“等直點”時，②在⊙T內(nèi)部，恰有三個點F，O，G是線段BC的“等直點”時，③在⊙T內(nèi)部，恰有三個點F，O，P是線段BC的“等直點”時，根據(jù)勾股定理計算OT的長，確定T的坐標，即t的值，可得結(jié)論．

解：（1）如圖1，觀察圖形可知：△BDC和△FBC是等腰直角三角形，

所以線段BC的“等直點”是D和F，

故答案為：D和F；

（2）①分兩種情況：

i）當點A在第四象限時，如圖2，

∵點A為BC的“完美等直點”，

∴△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，

∵B（0，﹣6），C（8，0），

∴OB＝6，OC＝8，

∴BC＝10，

∴AB＝AC＝5，

過A作AE⊥x軸于E，AF⊥y軸于F，

∵∠BAC＝∠EAF＝90°，

∴∠CAE＝∠BAF，

∵AB＝AC，∠AEC＝∠AFB＝90°，

∴△AEC≌△AFB（AAS），

∴AE＝AF，

設(shè)AE＝x，則AF＝OE＝x，CE＝8﹣x，

∴AC2＝CE2+AE2，

即，

解得：x＝1（舍）或7，

∴A（7，﹣7），

∴k＝﹣7×7＝﹣49；

ii）當點A1在第一象限時，如圖2，同理可得A1（1，1），

∴k＝1×1＝1，

綜上，k的值是﹣49或1；

②如圖3，過C作PC⊥BC，交直線y＝x+6于點P，過P作PE⊥x軸于E，

∵∠PCB＝∠PCE+∠BCO＝∠BCO+∠OBC＝90°，

∴∠PCE＝∠OBC，

∵∠PEC＝∠BOC＝90°，

∴△PEC∽△COB，

∴，

設(shè)CE＝3x，PE＝4x，則PC＝5x，AE＝PE＝4x，

∵OA＝6，

∴OE＝4x﹣6＝8﹣3x，

∴x＝2，

∴PC＝10＝BC，

∵∠PCB＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴點P為BC的“等直點”，且P（2，8）；

（3）分三種情況：

①在⊙T內(nèi)部，恰有三個點A，O，G是線段BC的“等直點”時，

如圖4，△ABC，△BCG，△OBC都是等腰直角三角形，

當⊙T經(jīng)過點G時，連接TG，

∵OG＝OC＝2，TG＝3，

∴OT＝＝，

如圖5，⊙T經(jīng)過點F時，△BCF，△BCH，△BCP是等腰直角三角形時，連接TF，

同理得TC＝，

∴OT＝﹣2，

∴當在⊙T內(nèi)部，恰有三個點是線段BC的“等直點”時，t的取值范圍﹣＜t≤2﹣；

②在⊙T內(nèi)部，恰有三個點F，O，G是線段BC的“等直點”時，

如圖6，⊙T經(jīng)過點A時，OT＝AT﹣OA＝3﹣2＝1，

如圖7，⊙T經(jīng)過點P時，連接TP，過P作PE⊥x軸于E，

∴TE＝，

∴OT＝OE﹣TE＝4﹣，

∴當在⊙T內(nèi)部，恰有三個點是線段BC的“等直點”時，t的取值范圍1≤t≤4﹣；

③在⊙T內(nèi)部，恰有三個點F，O，P是線段BC的“等直點”時，

如圖8，⊙T經(jīng)過點G時，

同理得：OT＝，

如圖9，⊙T經(jīng)過點O時，此時OT＝3，

∴在⊙T內(nèi)部，恰有三個點是線段BC的“等直點”時，t的取值范圍≤t＜3；

綜上，在⊙T內(nèi)部，恰有三個點是線段BC的“等直點”時，t的取值范圍﹣＜t≤2﹣或1≤t≤4﹣或≤t＜3．