【題目】如圖,Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,O為坐標原點,A、B兩點的坐標分別為(,0)、(0,4),拋物線經(jīng)過B點,且頂點在直線上.

(1)求拋物線對應的函數(shù)關系式;

(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的,當四邊形ABCD是菱形時,試判斷點C和點D是否在拋物線上,并說明理由;

(3)若M點是CD所在直線下方拋物線上的一個動點,過點M作MN平行于y軸交CD于點N設點M的橫坐標為t,MN的長度為l求l與t之間的函數(shù)關系式,并求l取最大值時,點M的坐標.

【答案】(1)y=x2-x+4;(2)點C和點D在所求拋物線上;(3)點M的坐標為(,).

【解析】

試題分析:(1)已知了拋物線上A、B點的坐標以及拋物線的對稱軸方程,可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.

(2)首先求出AB的長,將A、B的坐標向右平移AB個單位,即可得出C、D的坐標,再代入拋物線的解析式中進行驗證即可.

(3)根據(jù)C、D的坐標,易求得直線CD的解析式;那么線段MN的長實際是直線BC與拋物線的函數(shù)值的差,可將x=t代入兩個函數(shù)的解析式中,得出的兩函數(shù)值的差即為l的表達式,由此可求出l、t的函數(shù)關系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出l取最大值時,點M的坐標.

試題解析:(1)拋物線y=x2+bx+c的頂點在直線x=上,

可設所求拋物線對應的函數(shù)關系式為y= x-2+m

點B(0,4)在此拋物線上,

4=×-2+m

m=-

所求函數(shù)關系式為:y= x-2-=x2-x+4

(2)在RtABO中,OA=3,OB=4,

AB==5

四邊形ABCD是菱形

BC=CD=DA=AB=5

C、D兩點的坐標分別是(5,4)、(2,0);

當x=5時,y=×52-×5+4=4

當x=2時,y=×22-×2+4=0

點C和點D在所求拋物線上;

(3)設直線CD對應的函數(shù)關系式為y=kx+b

;

解得:;

y=x-

MNy軸,M點的橫坐標為t,

N點的橫坐標也為t;

則yM=t2-t+4,yN=t-,

l=yN-yM=t--(t2-t+4)=-t2+t-=- t-2+

-<0,

當t=時,l最大=,yM=t2-t+4=

此時點M的坐標為(,).

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