Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H.

（1）求△PEF的邊長；
（2）若△PEF的邊EF在線段BC上移動.試猜想：PH與BE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論.

Answer 1

(1)2（2），證明見解析

解: (1)過作于　　
矩形
，即，又
　　………………1分
是等邊三角形

在中

 
的邊長為．　　……………………………3分
與的數(shù)量關(guān)系是：………4分
在中，

　　…………………………………5分
是等邊三角形
　　……………………………6分



　　…………………………………………8分

 ……………………………………………9分
（1）要求△PEF的邊長，需構(gòu)造直角三角形，那么就過P作PQ⊥BC于Q．利用∠PFQ的正弦值可求出PF，即△PEF的邊長；
（2）猜想：PH-BE=1．利用∠ACB的正切值可求出∠ACB的度數(shù)，再由∠PFE=60°，可得出△HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF=BE+PH+2FH=3．再把其中FH用PH表示，化簡即可．