(2012•金東區(qū)一模)如圖,拋物線y=ax2+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1(1,
1
3
),B2(2,
7
12
).在該拋物線上取點(diǎn)B3(3,y3),B4(4,y4),…,B100(100,y100),在x軸上依次取點(diǎn)A1,A2,A3,…,A100,使△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…,△A100B100A101分別是以∠B1,∠B2,…,∠B100為頂角的等腰三角形,設(shè)A1的橫坐標(biāo)為t(0<t<1).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)記△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…,A100B100A101的面積分別為S1,S2,…,S100,用含t的代數(shù)式分別表示S1,S2和S100;
(3)在所有等腰三角形中是否存在直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)把點(diǎn)B1(1,
1
3
),B2(2,
7
12
)代入拋物線解析式得到關(guān)于a、c的二元一次方程組,解方程組求出a、c的值,即可得解;
(2)根據(jù)點(diǎn)A1的坐標(biāo)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)分別求出A2、A3的坐標(biāo),然后求出A1A2、A2A3的長(zhǎng)度,再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可求出S1、S2,依此類推求出求出A3A4、A4A5的長(zhǎng)度,然后得出規(guī)律并表示出A100A101的長(zhǎng)度,再把x=100代入拋物線解析式求出y100,然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解;
(3)按照從左到右的順序,依次令三角形為等腰直角三角形,然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半列式求解得到t的值,再根據(jù)t的取值范圍進(jìn)行判斷.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1(1,
1
3
),B2(2,
7
12
),
a+c=
1
3
4a+c=
7
12

解得
a=
1
12
c=
1
4
,
所以,拋物線解析式為y=
1
12
x2+
1
4
;

(2)∵A1的橫坐標(biāo)為t,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4是等腰三角形,
∴A2(2-t,0),A3(2+t,0),
∴A1A2=(2-t)-t=2-2t,A2A3=(2+t)-(2-t)=2t,
∴S1=
1
2
×(2-2t)×
1
3
=
1-t
3
,S2=
1
2
×2t×
7
12
=
7
12
t,
依此類推,A4(4-t,0),A5(4+t,0),A6(6-t,0),A7(6+t,0),…,
∴A3A4=(4-t)-(2+t)=2-2t,A4A5=(4+t)-(4-t)=2t,
A5A6=(6-t)-(4+t)=2-2t,A6A7=(6+t)-(6-t)=2t,…,
A100A101=2t,
又∵y100=
1
12
×1002+
1
4
=
10003
12
;
∴S100=
1
2
×2t•
10003
12
=
10003
12
t;

(3)存在.
理由如下:若△A1B1A2為等腰直角三角形,則A1A2=2-2t=2×
1
3

解得t=
2
3
,
若△A2B2A3為等腰直角三角形,則A2A3=2t=2×
7
12

解得t=
7
12
,
若△A3B3A4為等腰直角三角形,則A3A4=2-2t=2(
32
12
+
1
4
),
解得t=0,依次向右,t逐漸變小,
∵0<t<1,
∴t的值為
2
3
,
7
12
時(shí),所有等腰三角形中存在直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題型,主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰三角形三線合一的性質(zhì),以及規(guī)律探尋,(2)中求出等腰三角形底邊的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
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3
2
3
2
m.

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