(2012•金東區(qū)一模)如圖,已知正方形ABCD的邊長為8,以AB為直徑的⊙O交對角線AC于點F,點E在⊙O上(E,F(xiàn)分別在直徑AB的兩側(cè)).
(1)求∠AEF的度數(shù);
(2)若AE=7,求∠AFE的正弦值;
(3)求圖中陰影部分的面積.
分析:(1)首先連接BF,易得即點F是對角線AC與BD的交點,即可得∠ABF=45°,又由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,即可求得∠AEF的度數(shù);
(2)首先連接BE,由AB是直徑,即可得∠AEB=90°,然后在Rt△ABE中,由三角函數(shù)的定義,即可求得∠ABE的正弦值,繼而求得∠AFE的正弦值;
(3)連接OF,由S陰影=S梯形OBCF-S扇形BOF,即可求得答案.
解答:解:(1)連接BF,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠AFB=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∴點B,F(xiàn),D共線,
即點F是對角線AC與BD的交點,
∴∠ABF=45°,
∴∠AEF=∠ABF=45°;                                           

(2)連接BE,
∵AB是直徑,
∴∠AEB=90°,
∵AB=8,AE=7,
∴sin∠ABE=
AE
AB
=
7
8
,
∵∠ABE=∠AFE,
∴∠AFE的正弦值為
7
8
;                                             

(3)連接OF,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AF=BF,
∵OA=OB,
∴OF⊥AB,
即∠BOF=90°,
∴S陰影=S梯形OBCF-S扇形BOF=
1
2
×(OF+BC)×OB-
1
4
π×(OB)2=
1
2
×(4+8)×4-
1
4
×π×16=24-4π.
∴陰影部分的面積為24-4π.
點評:此題考查了正方形的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)的定義以及扇形的面積.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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