【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.CD⊥AB于點(diǎn)D.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中,以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作長(zhǎng)為2,寬為1的矩形PQMN,其中PQ=2,PN=1,點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè),MN在PQ的下分,且PQ總保持與AC垂直.設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)(t>0),矩形PQMN與△ACD的重疊部分圖形面積為S(平方單位).
(1)求線段CD的長(zhǎng);
(2)當(dāng)矩形PQMN與線段CD有公共點(diǎn)時(shí),求t的取值范圍;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)CD=;(2)≤t≤;(3)當(dāng)0<t<時(shí),S=;當(dāng)≤t≤時(shí), S=2;當(dāng)<t≤時(shí),S=.
【解析】
(1)由勾股定理得出AB=10,由△ABC的面積得出ACBC=ABCD,即可得出CD的長(zhǎng);
(2)分兩種情形:①當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時(shí),如圖1所示,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.②當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí),如圖2所示,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可;
(3)首先求出點(diǎn)Q落在AC上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t,再分三種情形:①當(dāng)0<t<時(shí),重疊部分是矩形PNYH,如圖4所示,②當(dāng)≤t≤時(shí),重合部分是矩形PNMQ,S=PQPN=2,③當(dāng)<t≤時(shí),如圖5中重疊部分是五邊形PQMJI,分別求解即可.
解:(1)∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB==10,
∵S△ABC=ACBC=ABCD,
∴ACBC=ABCD,即:8×6=10×CD,
∴CD=;
(2)在Rt△ADC中,AD=,BD=ABAD=,
當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時(shí),如圖1所示:
∵矩形PQMN,PQ總保持與AC垂直,
∴PN∥AC,
∴∠NPD=∠CAD,
∵∠PDN=∠ADC,
∴△PDN∽△ADC,
∴,即:,
解得:PD=,
∴t=ADPD=;
當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上時(shí),如圖2所示:
∵PQ總保持與AC垂直,
∴PQ∥BC,△DPQ∽△DBC,
∴,即:,
解得:DP=,
∴t=AD+DP=,
∴當(dāng)矩形PQMN與線段CD有公共點(diǎn)時(shí),t的取值范圍為:≤t≤;
(3)當(dāng)Q在AC上時(shí),如圖3所示:
∵PQ總保持與AC垂直,
∴PQ∥BC,△APQ∽△ABC,
∴,即:,
解得:AP=,
當(dāng)0<t<時(shí),重疊部分是矩形PNYH,如圖4所示:
∵PQ∥BC,
∴△APH∽△ABC,
∴,即:,
∴PH=,
∴S=PHPN=;
當(dāng)≤t≤時(shí),重合部分是矩形PNMQ,S=PQPN=2;
當(dāng)<t≤時(shí),如圖5中重疊部分是五邊形PQMJI,
易得△PDI∽△ACB∽△JNI,
∴,即:,
∴PI=(t),
∴,即:,
∴JN=,
S=S矩形PNMQS△JIN=2·()·[1(t)]=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AOBC的頂點(diǎn)O(0,0),A(﹣1,2),點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖:①以點(diǎn)O為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點(diǎn)D,E;②分別以點(diǎn)D,E為圓心,大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)F;③作射線OF,交邊AC于點(diǎn)G,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為( )
A. (﹣1,2) B. (,2) C. (3﹣,2) D. (﹣2,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)水果市場(chǎng)某品種蘋果的銷售方式如下表:
購(gòu)買蘋數(shù)量(千克) | 不超過千克部分 | 超過千克的部分 |
每千克的價(jià)格(元) | 元 | 元 |
(1)如果小明購(gòu)買千克的蘋果,那么他需要付___________元.
(2)小明分兩次共購(gòu)買千克的蘋果,第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量,若他兩次共付元,求他兩次分別購(gòu)買蘋果的數(shù)量.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn),廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè),據(jù)統(tǒng)計(jì),目前廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬座,計(jì)劃到2020年底,全省5G基站數(shù)是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬座。
(1)計(jì)劃到2020年底,全省5G基站的數(shù)量是多少萬座?;
(2)按照計(jì)劃,求2020年底到2022年底,全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)為直線上一點(diǎn),過點(diǎn)作射線,使將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處,一邊在射線上,另一邊在直線的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)按每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使落在上.在旋轉(zhuǎn)的過程中,假如第秒時(shí),、、三條射線構(gòu)成的角中有兩個(gè)角相等,求此時(shí)的值為多少?
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖2),使在的內(nèi)部,請(qǐng)?zhí)骄浚?/span>與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】無錫某學(xué)校準(zhǔn)備組織學(xué)生及學(xué)生家長(zhǎng)到南京大學(xué)參觀體驗(yàn),為了便于管理,所有人員到南京必須乘坐在同一列動(dòng)車上;根據(jù)報(bào)名人數(shù),若都買一等座單程火車票需5032元,若都買二等座單程火車票且花錢最少,則需2970元;已知學(xué)生家長(zhǎng)人數(shù)是教師人數(shù)的2倍,無錫到南京的動(dòng)車票價(jià)格(動(dòng)車學(xué)生票只有二等座可以打6折)如下表所示:
運(yùn)行區(qū)間 | 票價(jià) | ||
上車站 | 下車站 | 一等座 | 二等座 |
無錫 | 南京 | 68(元) | 55(元) |
(1)參加參觀體驗(yàn)的老師、家長(zhǎng)與學(xué)生各有多少人?
(2)由于各種原因,二等座火車票單程只能買x張(x小于參加體驗(yàn)的人數(shù)),其余的需買一等座火車票,在保證每位參與人員都有座位坐的前提下,請(qǐng)你設(shè)計(jì)最經(jīng)濟(jì)的購(gòu)票方案,并寫出購(gòu)買火車票的總費(fèi)用(單程)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)請(qǐng)你做一個(gè)預(yù)算,按第(2)小題中的購(gòu)票方案,購(gòu)買單程火車票的總費(fèi)用至少是多少錢?最多是多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在銳角△ABC中,AB=5,tanC=3,BD⊥AC于點(diǎn)D,BD=3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PE∥AC交邊BC于點(diǎn)E,以PE為邊作Rt△PEF,使∠EPF=90°,點(diǎn)F在點(diǎn)P的下方,且EF∥AB.設(shè)△PEF與△ABD重疊部分圖形的面積為S(平方單位)(S>0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)
(t>0).
(1)求線段AC的長(zhǎng).
(2)當(dāng)△PEF與△ABD重疊部分圖形為四邊形時(shí),求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.
(3)若邊EF所在直線與邊AC交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,如圖2,直接寫出△ABC的某一頂點(diǎn)到P、Q兩點(diǎn)距離相等時(shí)t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線分別交直線,于,兩點(diǎn),過點(diǎn)作交直線于點(diǎn),點(diǎn)是直線上一點(diǎn),連接,已知.
(1)求證:;
(2)若,平分,求的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,將△ABC折疊,使點(diǎn)B落在邊AC上點(diǎn)D (不與點(diǎn)A重合)處,折痕為PQ,當(dāng)重疊部分△PQD為等腰三角形時(shí),則AD的長(zhǎng)為_____.
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