【題目】已知拋物線,與x軸交于兩點(diǎn)AB(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C

(Ⅰ)求點(diǎn)A,B和點(diǎn)C的坐標(biāo);

(Ⅱ)已知P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①若軸,交拋物線于點(diǎn)Q,當(dāng)取最大值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②求的最小值.

【答案】(Ⅰ)A,BC;(Ⅱ)①;②

【解析】

)令,代入拋物線解析式即可求出AB的坐標(biāo),令從而得出C點(diǎn)坐標(biāo);

)①設(shè)代入B、C坐標(biāo)即可得出直線解析式,設(shè),則,且QP上方,分別表示出PQBP即可得出PQ+BP的表達(dá)式,對(duì)表達(dá)式進(jìn)行配方即可得出結(jié)果,②如圖,延長(zhǎng)至點(diǎn)D,使得,連接,作軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P于點(diǎn)H,可證的是等腰直角三角形,由垂線段最短可知,當(dāng),共線時(shí)取得最小值,根據(jù)題目已知條件得出D點(diǎn)坐標(biāo),表示出即可得出結(jié)果.

解:()令,則,解得

A點(diǎn)坐標(biāo)為,B點(diǎn)坐標(biāo)為

,則

C點(diǎn)坐標(biāo)為

)①設(shè):,將,分別代入得,

,解得,故

可設(shè),,則,且QP上方.

所以

當(dāng)時(shí)取得最大值,此時(shí)

②如圖,延長(zhǎng)至點(diǎn)D,使得,連接,作軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P于點(diǎn)H

,,

所以,

是等腰直角三角形,

,由垂線段最短可知,當(dāng),共線時(shí)取得最小值.

,

,

,

可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為

,代入可得,

解得,故有

所以的最小值為

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(1)①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);②求拋物線解析式.

(2)若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn),連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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