Question

【題目】如圖，D是線段AB的中點，C是線段AB的垂直平分線上的一點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．

（1）求證：DE=DF；

（2）當CD與AB滿足怎樣的數(shù)量關系時，四邊形CEDF為正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形CEDF為正方形．理由見解析.

【解析】（1）證明：∵CD垂直平分線AB，∴AC=CB，∴△ABC是等腰三角形．

∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD．

∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，∴∠EDC=∠FDC．

在△DEC與△DFC中，∵∠ACD=∠BCD，CD=CD，∠EDC=∠FDC，∴△DEC≌△DFC（ASA），∴DE=DF；

（2）解：當AB=2CD時，四邊形CEDF為正方形．理由如下：

∵AD=BD，AB=2CD，∴AD=BD=CD，∴∠ACD=45°，∠DCB=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∴四邊形DECF是矩形．

又∵DE=DF，∴四邊形CEDF是正方形．