【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2+bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1,0)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),將拋物線C1向右平移1個(gè)單位,向下平移1個(gè)單位得到拋物線C2,直線y=x+c,經(jīng)過(guò)點(diǎn)Dy軸于點(diǎn)A,交拋物線C2于點(diǎn)B,拋物線C2的頂點(diǎn)為P.

(1)求拋物線C1的解析式;

(2)如圖2,連結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)BBC⊥APAP的延長(zhǎng)線于C,設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,

當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),SPBD×SBCF=8?

連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,試證明:FC(AC+EC)為定值.

【答案】(1)y=x2﹣2x+1;(2)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到x軸時(shí),SPBD×SBCF=8;②證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)已知頂點(diǎn)D的坐標(biāo),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為:y=a(x-1)2,將點(diǎn)(0,1)代入即可;

(2)根據(jù)平移規(guī)律求出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),即P(2,-1),根據(jù)頂點(diǎn)式,得平移后拋物線解析式y=(x-2)2-1,由解析式,得A(0,-1),B(4,3),可求DBP的面積;

(3)由QMCE,得PQM∽△PEC,利用相似比求EC,由QNFC,得BQN∽△BFC,利用相似比求FC,已知AC=4,再計(jì)算FC(AC+EC)為定值.

(1)把頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1,0)和點(diǎn)(0,1)坐標(biāo)代入y=ax2+bx+1,

解得:拋物線的方程為:y=x2﹣2x+1;

(2)拋物線C1向右平移1個(gè)單位,向下平移1個(gè)單位得到拋物拋物線C1向右平移1個(gè)單位,向下平移1個(gè)單位得到拋物線C2,

則拋物線C2的方程為:y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3,

此時(shí)頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,﹣1),A(0,﹣1)、B(4,3),

①則:SPBD=3,SBCF,

設(shè)點(diǎn)Q(m,m2﹣4m+3),把Q、B點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式,

解得:BQ所在的直線方程為:y=mx+(3﹣4m),

則:F(,﹣1),SBCFFC(yB﹣yC)=,

m=3,點(diǎn)Q坐標(biāo)為:(3,0),即:點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到x軸時(shí),SPBD×SBCF=8;

②如下圖所示,過(guò)Q點(diǎn)分別作AC、BC的垂線QM、QN,

設(shè):Q(t,t2﹣4t+3),則QM=CN=(t﹣2)2,MC=QN=4﹣t,

QMCE,,則:,解得:EC=2t﹣4,

QNFC,,則:FC=,而AC=4,

FC(AC+EC)=(4+2t﹣4)=8,為定值.

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