Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝（x+1）（x﹣3）（m為常數(shù)，且m＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)c（0，﹣），與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）請(qǐng)直接寫出m的值及點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）請(qǐng)你探究：在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，請(qǐng)求出AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）如圖2，點(diǎn)D（2，﹣），連接AD，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠BAQ＝2∠BAD，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝，A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，AP的長(zhǎng)為2或；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣）或（6，7）．

【解析】

（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式y＝（x+1）（x﹣3）即可求出m的值，令y＝0，即可求出A，B的橫坐標(biāo)；

（2）分情況討論，當(dāng)以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，證△ABC為直角三角形，且與△BOC相似，所以點(diǎn)P與點(diǎn)C重合；當(dāng)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)P，由相似的性質(zhì)求出AP的長(zhǎng)度即可；當(dāng)以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，不存在；

（3）分情況討論，先求出∠BAD＝30°，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，求出∠BAC＝60°，則點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，直線AE與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q．

（1）將點(diǎn)C（0，﹣）代入y＝（x+1）（x﹣3），

得，m＝，

∴拋物線解析式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，

當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）存在點(diǎn)P，理由如下：

①在拋物線y＝x2﹣x﹣中，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣，

∴C（0，﹣），OC＝，

∴AC2＝AO2+CO2＝4，BC2＝BO2+CO2＝12，

又∵AB2＝42＝16，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝∠COB＝90°，

又∵∠OBC＝∠CBA，

∴△BOC∽△BCA，

即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

∴AP＝AC＝ ＝2；

②過(guò)點(diǎn)A作AP⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)P，

則AP∥OC，

∴△BAP∽△BOC，

∴，

∴，

∴AP＝，

綜上所述，AP的長(zhǎng)為2或；

（3）存在點(diǎn)Q，理由如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，

則H（2，0），

①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，

DH＝，AH＝3，

∴在Rt△AHD中，

tan∠BAD＝，

∴∠BAD＝30°，

在Rt△AOC中，

tan∠BAC＝＝，

∴∠BAC＝60°，

∴∠BAC＝2∠BAD，

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，

∴Q1（0，﹣）；

②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，

作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E（0，），

則∠EAB＝∠CAB＝60°＝2∠BAD，

則直線AE與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，

設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+，

將點(diǎn)A（﹣1，0）代入，得

k＝，

∴yAE＝x+，

聯(lián)立，得x+＝x2﹣ x﹣，

解得，x1＝﹣1，x2＝6，

∴Q2（6，7），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣）或（6，7）．