設(shè)拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點(diǎn)C，且∠精英家教網(wǎng)ACB=90度．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，過點(diǎn)A的直線y=x+1交拋物線于另一點(diǎn)E．若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于
 
．
分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根據(jù)射影定理OC2=OA•AB，可求出AB的長，進(jìn)而可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了m的值，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出其解析式．
（2）可先根據(jù)拋物線的解析式和直線AE的解析式求出E點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)過求解不難得出∠FDB=∠DBO=45°，因此本題要分兩種情況進(jìn)行討論：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根據(jù)對(duì)應(yīng)的相似三角形得出的成比例線段求出OP的長，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）以求△BP1D的外接圓半徑為列進(jìn)行說明：先作△BPD的外接圓，過P作直徑PM，連接DM，那么不難得出△PMD和△FBD相似，可得出
DP
PM
=
DF
BD
，可先求出DP，DF，BD的長，而PM是圓的直徑，由此可求出△BPD的外接圓的半徑．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC2
∴OB=
OC2
OA
=
22
1
=4，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-2，
得
a=
1
2
b=-
3
2
，
∴拋物線的解析式為y=
1
2
x2-
3
2
x-2．

（2）D（1，n）代入y=
1
2
x2-
3
2
x-2，得n=-3，
由
y=
1
2
x2-
3
2
x-2
y=x+1
，得
x1=-1
y1=0
，
x2=6
y2=7
，
∴E（6，7），
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0）
∴AH=EH=7
∴∠EAH=45°
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0）
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°
則點(diǎn)P只能在點(diǎn)B的左側(cè)，有以下兩種情況：
①若△DBP1∽△EAB，則
BP1
AB
=
BD
AE

∴BP1=
AB•BD
AE
=
5×3
2
7
2
=
15
7

∴OP1=4-
15
7
=
13
7
，
∴P1（
13
7
，0）．
②若△DBP2∽△BAE，則
BP2
AE
=
BD
AB

∴BP2=
AE•BD
AB
=
7
2
×3
2
5
=
42
5

∴OP2=
42
5
-4=
22
5

∴P2（-
22
5
，0）．
綜合①、②，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（
13
7
，0）或P2（-
22
5
，0）．

（3）
3
106
14
或
3
53
5
．
如圖所示：先作△BPD的外接圓，過P作直徑PM，連接DM，
∵∠PMD=∠PBD，∠DFP=∠PDM，
∴△PMD和△FBD相似，
精英家教網(wǎng)∴
DP
PM
=
DF
BD
，
∴PD=
(
13
7
-1)2+(-3)2
=
477
49
=
3
53
7
，
DF=3，
BD=
(1-4)2+(-3)2
=3
2
，
∴PM=
DP•BD
DF
=
3
106
7
，
∴△BPD的外接圓的半徑=
3
106
14
；
同理可求出當(dāng)P點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，△BPD的外接圓的半徑=
3
53
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、三角形相似以及△外接圓的半徑的求法等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．
（要注意區(qū)別三角形內(nèi)切圓和外接圓半徑求法的不同：三角形內(nèi)切圓半徑通常用公式法求解．而三角形外接圓半徑通常要通過構(gòu)建相似三角形來求解）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A（1，1）、B （2，4）和C三點(diǎn)．
（1）用含a的代數(shù)式分別表示b、c；
（2）設(shè)拋物線y=ax2+bx+c頂點(diǎn)坐標(biāo)（p，q），用含a的代數(shù)式分別表示p、q；
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，求證：p＜
32
，q≤1．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-1，0），B（m精英家教網(wǎng)，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），且∠ACB=90度．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，過點(diǎn)A的直線y=x+1交拋物線于另一點(diǎn)E，求點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與三角形AEB相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（-l，0）、B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）問拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得S△ABM=2S△ABC？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）已知點(diǎn)D（1，n）在拋物線上，過點(diǎn)A的直線y=-x-1交拋物線于另一點(diǎn)E．
①求tan∠ABD的值：
②若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-
12
）和（m-b，精英家教網(wǎng)m2-mb+n），其中 a，b，c，m，n為實(shí)數(shù)，且a，m不為0．
（1）求c的值；
（2）設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（x1，0）和（x2，0），求x1?x2的值；
（3）當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c上與x軸距離最大的點(diǎn)為P（x0，y0），求這時(shí)|y0丨的最小值．

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