Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A（1，1）、B （2，4）和C三點．
（1）用含a的代數(shù)式分別表示b、c；
（2）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c頂點坐標(biāo)（p，q），用含a的代數(shù)式分別表示p、q；
（3）當(dāng)a＞0時，求證：p＜

3

2

，q≤1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象經(jīng)過A（1，1）、B（2，4）可把此兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，再用含a的代數(shù)式分別表示b、c即可；
（2）根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)公式即可求出p、q的值；
（3）根據(jù)（2）中求出的函數(shù)頂點坐標(biāo)由a＞0即可判斷出p、q的取值范圍．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象經(jīng)過A（1，1）、B（2，4），
∴

1=a+b+c 4=4a+2b+c

（1分）
3=3a+b，
∴b=3-3a，（2分）
∴1=a+3-3a+c，
∴c=2a-2．（3分）
（2）∴p=-

b

2a

=

3a-3

2a

；（4分）
∴q=

4ac-b2

4a

=

4a(2a-2)-(3a-3)2

4a

=

-a2+10a-9

4a

；（6分）

（3）證明：∵a＞0，
∴-

3

2a

＜0，
∴p=-

b

2a

=

3

2

-

3

2a

＜

3

2

；（8分）
∵

-(a-3)2

4a

≤0，
∴q=

-a2+6a-9

4a

+

4a

4a

=

-(a-3)2

4a

+1≤1．（10分）

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、頂點坐標(biāo)及不等式的基本性質(zhì)，難度適中．