Question

【題目】如圖，Rt△AOB中，∠OAB=90°，OA=AB，將Rt△AOB放置于直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，連結(jié)BC，OC．雙曲線 (x＞0)與OA邊交于點(diǎn)D、與AB邊交于點(diǎn)E．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求證：四邊形ABCD是正方形；

(3)連結(jié)AC交OB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G，交OA邊于點(diǎn)F，求四邊形OHGF的面積．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，3)；（2）見解析；（3）．

【解析】

(1)由OA=AB，∠OAB=90°可得出∠AOB=∠ABO=45°，進(jìn)而可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a，a)，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合點(diǎn)D在第一象限，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)由點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱結(jié)合OA=AB可得出OA=OC=AB=BC，進(jìn)而可得出四邊形ABCO是菱形，再結(jié)合∠OAB=90°，即可證出四邊形ABCO是正方形；

(3)依照題意畫出圖形，易證△AFG≌△AEG，進(jìn)而可得出S四邊形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，m)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n，)，易證AG=GE，進(jìn)而可得出2m-n=，再利用三角形的面積公式結(jié)合S四邊形OHGF=S△AOH-S△AEG，即可求出四邊形OHGF的面積．

解：(1)∵OA=AB，∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45°，

∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a，a)．

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴a=，解得：a=±3．

∵點(diǎn)D在第一象限，

∴a=3，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，3)．

(2)證明：∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，

∴OA=OC，AB=BC．

又∵OA=AB，

∴OA=OC=AB=BC，

∴四邊形ABCO是菱形．

又∵∠OAB=90°，

∴四邊形ABCO是正方形．

(3)依照題意，畫出圖形，如圖所示．

∵EG⊥AC，

∴∠AGE=∠AGF=90°．

∵四邊形ABCO是正方形，

∴AC⊥OB．

∵OA=AB，

∴∠FAG=EAG．

在△AFG和△AEG中，

，

∴△AFG≌△AEG(ASA)，

∴S四邊形OHGF=S△AOH-S△AFG=S△AOH-S△AEG．

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，m)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(n，)．

∵OA=AB，EF∥OB，

∴AG=GE，

∴m-=n-m，即2m-n=，

∴S四邊形OHGF=m2-(n-m)(m-)=m2-mn++m2-=m(2m-n)+-=+-=．