Question

【題目】如圖1，等腰直角中，，過(guò)點(diǎn)，的圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié).

(1)若，，分別求，的長(zhǎng)

(2)如圖2，連結(jié)，若，的面積為10，求．

(3)如圖3，在圓上取點(diǎn)使得(點(diǎn)與點(diǎn)不重合)，連結(jié)，且點(diǎn)是的內(nèi)心

①請(qǐng)你畫(huà)出，說(shuō)明畫(huà)圖過(guò)程并求的度數(shù)．

②設(shè)，，，若，求的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)DE=；CE=；(2)；(3)①畫(huà)圖見(jiàn)解析；∠CDF=135°；②的內(nèi)切圓半徑為2．

【解析】

（1）由A、C、E、D四點(diǎn)共圓可得∠ADE＝90°，然后求出DE、BE、BC，再根據(jù)CE=BC-BE即可得出答案；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CA于H，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CB于G G，設(shè)DG=x，根據(jù)45°等腰直角三角形性質(zhì)可得DG=EG=BG=x，根據(jù)△ACD面積列出關(guān)于x的式子求出x值，再據(jù)此計(jì)算tan∠BCD；

（3）①過(guò)點(diǎn)畫(huà)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)∠PFD＝∠CFD，∠PCD＝∠BCD，∠CPF＝90°即可求出∠CDF的度數(shù)；②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CB于G，則DG為△CPF內(nèi)切圓半徑，先求出△CDE∽△DBF，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得，然后求出BD＝DE＝，即可得出△CPF的內(nèi)切圓半徑長(zhǎng).

解：(1)∵，，

∴，

∵四邊形內(nèi)接于圓，

∴

∵，，

∴，．

∵，

∴．

∴．

(2)過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于 ，設(shè)，

∵，，

∴．

∴, ,

∵的面積為10，

∴，

解得，(舍去)

∴

(3)①∵，點(diǎn)為的內(nèi)心，

∴如圖，過(guò)點(diǎn)畫(huà)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

即為所求的三角形.

∵∠PFD＝∠CFD，∠PCD＝∠BCD，∠CPF＝90°

∴

=

②過(guò)點(diǎn)作于，則為內(nèi)切圓半徑

∵，，

∴

又∵，

∴

而，

∴．

∴，即

而

∴，

∴的內(nèi)切圓半徑為2．