Question

如圖，直線AB與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A、B，P是函數(shù)y=

1

2x

在第一象限的圖象上的一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a，b），PM⊥x軸，PN⊥y軸，AB與PM、PN分別交于點(diǎn)E、F，OA=OB=1．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用a、b表示）；
（3）△OAF與△EBO是否一定相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA=OB=1，即可得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求出即可；
（2）把x=a代入y=-x+1，以及y=b代入求出即可；
（3）根據(jù)P是函數(shù)y=

1

2x

在第一象限的圖象上的一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a，b），求出

AF

OA

=

OB

BE

即可得出答案．

解答：解：（1）∵OA=OB=1，即可得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，
∴A（1，0），B（0，1）代入y=kx+b，
∴

k+b=0 b=1

，
∴k=-1，b=1，
∴y=-x+1，
（2）x=a代入y=-x+1，
∴E（a，-a+1），y=-a+1，y=b代入，x=1-b．
∴F（1-b，b），

（3）△OAF與△EBO一定相似．
連接OE，OF．過(guò)點(diǎn)E作ED⊥BO于點(diǎn)D，
E（a，-a+1），B（0，1），
則BD=1-（-a+1）=a，DE=a，
故BE=

DE2+BD2

=

2

a．
F（1-b，b），A（1，0）．
∴AF=

2

b．（1分）b=

1

2a

，

2 b

1

=

1

2 a

，

OB

BE

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

，
∵P（a，b）是函數(shù)y=

1

2x

上的點(diǎn)，
∴b=

1

2a

，
∴2ab=1．
∴

2 b

1

=

1

2 a

．

OB

BE

=

1

2 a

∴

AF

OA

=

OB

BE

．
又∠OAB=∠OBA，
∴△OAF∽△EBO．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，靈活利用三角形相似的判定定理得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．