【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,BF切⊙O于點(diǎn)B,AF交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)C在DF上,BC交⊙O于點(diǎn)E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF于點(diǎn)G,連接AE.
(1)直接寫(xiě)出AE與BC的位置關(guān)系;
(2)求證:△BCG∽△ACE;
(3)若∠F=60°,GF=1,求⊙O的半徑長(zhǎng).
【答案】
(1)解:如圖1,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠AEB=90°.
∴AE⊥BC
(2)解:如圖1,
∵BF與⊙O相切,
∴∠ABF=90°.
∴∠CBF=90°﹣∠ABE=∠BAE.
∵∠BAF=2∠CBF.
∴∠BAF=2∠BAE.
∴∠BAE=∠CAE.
∴∠CBF=∠CAE.
∵CG⊥BF,AE⊥BC,
∴∠CGB=∠AEC=90°.
∵∠CBF=∠CAE,∠CGB=∠AEC,
∴△BCG∽△ACE
(3)解:連接BD,如圖2所示.
∵∠DAE=∠DBE,∠DAE=∠CBF,
∴∠DBE=∠CBF.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°.
∴BD⊥AF.
∵∠DBC=∠CBF,BD⊥AF,CG⊥BF,
∴CD=CG.
∵∠F=60°,GF=1,∠CGF=90°,
∴tan∠F= =CG=tan60°=
∵CG= ,
∴CD= .
∵∠AFB=60°,∠ABF=90°,
∴∠BAF=30°.
∵∠ADB=90°,∠BAF=30°,
∴AB=2BD.
∵∠BAE=∠CAE,∠AEB=∠AEC,
∴∠ABE=∠ACE.
∴AB=AC.
設(shè)⊙O的半徑為r,則AC=AB=2r,BD=r.
∵∠ADB=90°,
∴AD= r.
∴DC=AC﹣AD=2r﹣ r=(2﹣ )r= .
∴r=2 +3.
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2 +3.
【解析】(1)由AB為⊙O的直徑即可得到AE與BC垂直.(2)易證∠CBF=∠BAE,再結(jié)合條件∠BAF=2∠CBF就可證到∠CBF=∠CAE,易證∠CGB=∠AEC,從而證到△BCG∽△ACE.(3)由∠F=60°,GF=1可求出CG= ;連接BD,容易證到∠DBC=∠CBF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CG= ;設(shè)圓O的半徑為r,易證AC=AB,∠BAD=30°,從而得到AC=2r,AD= r,由DC=AC﹣AD= 可求出⊙O的半徑長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】利用角平分線的性質(zhì)定理和等腰三角形的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等; 定理2:一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上;如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱:等角對(duì)等邊).這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校準(zhǔn)備開(kāi)展“陽(yáng)光體育活動(dòng)”,決定開(kāi)設(shè)以下體育活動(dòng)項(xiàng)目:足球、乒乓球、籃球和羽毛球,要求每位學(xué)生必須且只能選擇一項(xiàng),為了解選擇各種體育活動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù),隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將通過(guò)調(diào)查獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答問(wèn)題:
(1)這次活動(dòng)一共調(diào)查了名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,選擇籃球項(xiàng)目的人數(shù)所在扇形的圓心角等于度;
(4)若該學(xué)校有1500人,請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校選擇足球項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)約是人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)P是四邊形ABCD外接圓上任意一點(diǎn),且不與四邊形頂點(diǎn)重合,若AD是⊙O的直徑,AB=BC=CD.連接PA,PB,PC,若PA=a,則點(diǎn)A到PB和PC的距離之和AE+AF= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,BF切⊙O于點(diǎn)B,AF交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)C在DF上,BC交⊙O于點(diǎn)E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF于點(diǎn)G,連接AE.
(1)直接寫(xiě)出AE與BC的位置關(guān)系;
(2)求證:△BCG∽△ACE;
(3)若∠F=60°,GF=1,求⊙O的半徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算下列各題
(1)計(jì)算:(﹣1)2014﹣|﹣ |+ ﹣( ﹣π)0;
(2)先化簡(jiǎn),再求值:(2x﹣1)2﹣2(3﹣2x),其中x=﹣2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在矩形ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D的路線運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)D停止;點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿D→C→B→A的路線運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)A停止.若點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P的速度為每秒1 cm,點(diǎn)Q的速度為每秒2 cm,a秒時(shí),點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)改變速度,點(diǎn)P的速度變?yōu)槊棵?/span>b cm,點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵?/span>d cm.圖②是點(diǎn)P出發(fā)x秒后△APD的面積S1(cm2)與時(shí)間x(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象;圖③是點(diǎn)Q出發(fā)x秒后△AQD的面積S2(cm2)與時(shí)間x(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象.
(1)參照?qǐng)D②,求a、 b及圖②中c的值;
(2)求d的值;
(3)設(shè)點(diǎn)P離開(kāi)點(diǎn)A的路程為y1(cm),點(diǎn)Q到點(diǎn)A還需要走的路程為y2(cm),請(qǐng)分別寫(xiě)出改變速度后,y1、y2與出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q相遇時(shí)x的值;
(4)當(dāng)點(diǎn)Q出發(fā)__ __秒時(shí),點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程為25 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1) 如圖1,在一條筆直的公路兩側(cè),分別有A、B兩個(gè)村莊,現(xiàn)在要在公路l旁建一座火力發(fā)電廠,向A、B兩個(gè)村莊供電,為使所用的電線最短,請(qǐng)問(wèn)供電廠P應(yīng)健在何處?畫(huà)出圖形,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡;
(2) 如圖2,若要向4個(gè)村莊A、B、C、D供電,供電廠P又該建在何處能使所用電線最短呢?畫(huà)出圖形,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡;
(3)A、B、C、D如圖3,連接AC并延長(zhǎng)到E,使CE=AC,連接BD并反向延長(zhǎng)到F,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】亞健康是時(shí)下社會(huì)熱門(mén)話題,進(jìn)行體育鍛煉是遠(yuǎn)離亞健康的一種重要方式,為了解某校八年級(jí)學(xué)生每天進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間情況,隨機(jī)抽樣調(diào)查了100名初中學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表.
類別 | 時(shí)間t(小時(shí)) | 人數(shù) |
A | t≤0.5 | 5 |
B | 0.5<t≤1 | 20 |
C | 1<t≤1.5 | a |
D | 1.5<t≤2 | 30 |
E | t>2 | 10 |
請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答下列問(wèn)題:
(1)a= ;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)小王說(shuō):“我每天的鍛煉時(shí)間是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)”,問(wèn)小王每天進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間在什么范圍內(nèi)?
(4)若把每天進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間在1小時(shí)以上定為鍛煉達(dá)標(biāo),則被抽查學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1,將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE,將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED,分別以O(shè),E為圓心,OA、ED長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧AF和弧DF,連接AD,則圖中陰影部分面積是( )
A.π
B.π+5
C.
D.
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