若直角三角形三邊長(zhǎng)為正整數(shù),且周長(zhǎng)與面積數(shù)值相等,則稱此三角形為“完美直角三角形”,求“完美直角三角形”的三邊長(zhǎng).
分析:設(shè)三邊長(zhǎng)為a、b、c,其中c是斜邊,則存在勾股定理和周長(zhǎng)等于面積這兩個(gè)等量關(guān)系,解方程組且根據(jù)a、b、c均為正整數(shù)可得a、b、c的值.
解答:解:設(shè)三邊長(zhǎng)為a,b,c,其中c是斜邊,
則有
a2+b2=c2(1)
a+b+c=
ab
2
(3)

(2)代入(1)得 a2+b2=(
ab
2
-a-b)2

ab
4
(ab-4a-4b+8)=0

因?yàn)閍b≠0所以ab-4a-4b+8=0
所以 a=4+
8
b-4
(a,b為正整數(shù))
所以b-4=1,2,4,8,
所以b=5,6,8,12;
a=12,8,6,5;
c=13,10,10,13,
所以,三邊長(zhǎng)為6,8,10或5,12,13.
點(diǎn)評(píng):本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用,考查了分類討論思想,本題中討論a、b的值是解題的關(guān)鍵.
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  1. A.
    2,4,6
  2. B.
    4,6,8
  3. C.
    6,8,10
  4. D.
    8,10,12

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A、1個(gè)           B、2個(gè)      C、3個(gè)      D、4個(gè)

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