【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點,點C的坐標是(8,4),連接AC,BC.

(1)求過O,A,C三點的拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;

(2)動點P從點O出發(fā),沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動;同時,動點Q從點B出發(fā),沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當t為何值時,PA=QA?

(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使以A,B,M為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1),直角三角形;(2);(3)M1,),M2,),M3,),M4,).

【解析】

試題分析:(1)先確定出點A,B坐標,再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形;

(2)根據(jù)運動表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可;

(3)分三種情況用平面坐標系內(nèi),兩點間的距離公式計算即可

試題解析:(1)∵直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點,∴A(5,0),B(0,10),∵拋物線過原點,∴設(shè)拋物線解析式為,∵拋物線過點B(0,10),C(8,4),∴,∴,∴拋物線解析式為,∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),∴==125,==100,==25,∴,∴△ABC是直角三角形.

(2)如圖1,當P,Q運動t秒,即OP=2t,CQ=10﹣t時,由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,在Rt△AOP和Rt△ACQ中,AC=OA,PA=QA,∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,∴OP=CQ,∴2t=10﹣t,∴t=,∴當運動時間為時,PA=QA;

(3)存在,∵,∴拋物線的對稱軸為x=,∵A(5,0),B(0,10),∴AB=

設(shè)點M(,m);

①若BM=BA時,∴,∴m1=,m2=,∴M1,),M2,

②若AM=AB時,∴,∴m3=,m4=,∴M3,),M4,;

③若MA=MB時,∴,∴m=5,∴M(,5),此時點M恰好是線段AB的中點,構(gòu)不成三角形,舍去;

∴點M的坐標為:M1),M2,),M3,),M4,

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