【題目】(本題滿分分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(1).如圖1,直線過(guò)點(diǎn)且平行于軸,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連接,猜想的大小關(guān)系: ______ (填寫“>”“<”或“=” ),并證明你的猜想.

(2).請(qǐng)利用(1)的結(jié)論解決下列問(wèn)題:

①.如圖2,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為, 連接,問(wèn)是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,并求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

②.若過(guò)動(dòng)點(diǎn)和點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn),且,求直線的解析式(圖3為備用圖).

【答案】(1=;理由見解析;(2存在P點(diǎn)坐標(biāo)為(2﹣3);②y=x﹣1y=﹣x﹣1

【解析】試題分析:(1)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,設(shè)Pm,m2﹣2),則Bm,﹣1),然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出PAPB,從而可判斷它們相等;

2過(guò)點(diǎn)QQB∥x軸,過(guò)P點(diǎn)作PB⊥QBB點(diǎn),如圖2,由(1)得PB=PA,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,當(dāng)點(diǎn)PB、C共線時(shí),此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo);

過(guò)點(diǎn)Q0,﹣1)作直線l平行于x軸,作PB⊥lB,DE⊥lE,如圖3,由(1)得PB=PADE=DA,再證明△QDE∽△QPB,利用相似比得到==,設(shè)Pm,m2﹣2),則Bm,﹣1),PB=m2+1,易得E點(diǎn)坐標(biāo)為(m,﹣1),D點(diǎn)坐標(biāo)為[m,m2﹣2],則ED=m2+1,然后根據(jù)DEPB的數(shù)量關(guān)系列方程m2+1=4m2+1),解方程求出m,從而得到P點(diǎn)坐標(biāo),最后利用待定系數(shù)法求直線PQ的解析式.

解:(1PAPB相等.

理由如下:設(shè)Pm,m2﹣2),則Bm,﹣1),

∵PA===m2+1,

PB=﹣1﹣m2﹣2=m2+1,

∴PA=PB

故答案為=;

2存在.

過(guò)點(diǎn)QQB∥x軸,過(guò)P點(diǎn)作PB⊥QBB點(diǎn),如圖2,由(1)得PB=PA,則PA+PC=PB+PC,

當(dāng)點(diǎn)P、B、C共線時(shí),PB+PC最小,此時(shí)PC⊥QBP點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

當(dāng)x=2時(shí),y=﹣x2﹣2=﹣×4﹣2=﹣3,

即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣3);

過(guò)點(diǎn)Q0,﹣1)作直線l平行于x軸,作PB⊥lB,DE⊥lE,如圖3,由(1)得PB=PA,DE=DA,

∵PA=4AD,

∴PB=4DE,

∵DE∥PB,

∴△QDE∽△QPB,

==,

設(shè)Pm,m2﹣2),則Bm,﹣1),PB=m2+1,

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(m﹣1),D點(diǎn)坐標(biāo)為[mm2﹣2],

∴ED=﹣1+m2+2=m2+1,

m2+1=4m2+1),解得m1=4,m2=﹣4,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,﹣6)或(﹣4,﹣6),

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,﹣6)時(shí),直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1,

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,﹣6)時(shí),直線PQ的解析式為y=x﹣1

即直線PQ的解析式為y=x﹣1y=﹣x﹣1

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