Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點A作x軸垂線，垂足為C，過點B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面積為4，求點B的坐標(biāo)；
（2）求證：DC∥AB；
（3）當(dāng)AD=BC時，求直線AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

（1）∵函數(shù)y=

m

x

（x＞0，m是常數(shù)）圖象經(jīng)過A（1，4），
∴m=4．
∴y=

4

x

，
設(shè)BD，AC交于點E，據(jù)題意，可得B點的坐標(biāo)為（a，

4

a

），D點的坐標(biāo)為（0，

4

a

），E點的坐標(biāo)為（1，

4

a

），
∵a＞1，
∴DB=a，AE=4-

4

a

．
由△ABD的面積為4，即

1

2

a（4-

4

a

）=4，
得a=3，
∴點B的坐標(biāo)為（3，

4

3

）；

（2）證明：據(jù)題意，點C的坐標(biāo)為（1，0），DE=1，
∵a＞1，
易得EC=

4

a

，BE=a-1，
∴

BE

DE

=

a-1

1

=a-1，

AE

CE

=

4- 4 a

4 a

=a-1．
∴

BE

DE

=

AE

CE

且∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE=∠CDE，
∴DC∥AB；

（3）∵DC∥AB，
∴當(dāng)AD=BC時，有兩種情況：
①當(dāng)AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，

BE

DE

=

AE

CE

=a-1，
∴a-1=1，得a=2．
∴點B的坐標(biāo)是（2，2）．
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標(biāo)代入，
得

4=k+b 2=2k+b

，
解得

k=-2 b=6

．
故直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6．
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，
∴a=4，
∴點B的坐標(biāo)是（4，1）．
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標(biāo)代入，
得

4=k+b 1=4k+b

，
解得

k=-1 b=5

，
故直線AB的函數(shù)解析式是y=-x+5．
綜上所述，所求直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5．