Question

（2013•海滄區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點(diǎn)E、F，連結(jié)CE、BF．
（1）請你添加一個(gè)條件

DE=DF

，使得△BDF≌△CDE（不添加輔助線），并證明：△BDF≌△CDE；
（2）滿足（1）的條件下，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE，CF，已知BC=4，則四邊形BECF是什么圖形？其周長是多少？

Answer 1

分析：（1）兩個(gè)三角形全等已具備的條件是：BD=CD，∠BDF=∠CDE，根據(jù)三角形全等的判定方法即可確定添加的條件；
（2）根據(jù)EF、BC互相平分即可得到四邊形BECF是平行四邊形，然后根據(jù)三線合一定理證明對角線互相垂直即可證得四邊形BECF是菱形．

解答：解：（1）添加的條件是DE=DF，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴DB=DC，
又∵∠BDF=∠CDE，
在△BDF和△CDE中，

BD=CD ∠BDF=∠CDE DE=DF

∴△BDF≌△CDE（SAS）；

（2）連接BE，CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點(diǎn)
∴AD⊥BC，AD=

1

2

BC=2，
∴BE=CE，BF=CF，
由（1）得BF=CE，
∴BE=CE=BF=CF，
即四邊形BECF是菱形，
E為AD的中點(diǎn)，DE=1，在直角三角形BDE中，BE=

BD2+DE2

=

5

，
∴菱形BECF的周長是4

5

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目．