Question

【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c（b，c均是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），A（4，4），與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，且拋物線對(duì)稱軸與線段OA交于點(diǎn)P．

（1）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)P作x軸的平行線l，若點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接QB．

①若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)O關(guān)于直線QB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)線段AD的長最短時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（直接寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣）2+；（，）；（2）①（﹣，）或（，）；②（0，）；

【解析】

1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐標(biāo)代入

y=﹣x2+bx+c,轉(zhuǎn)化為解方程組即可.

(2)先求出直線OA的解析式,點(diǎn)B坐標(biāo),拋物線的對(duì)稱軸即可解決問題.

(3)①如圖1中,點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí),首先證明四邊形BOQC是菱形,設(shè)Q（m，）,根據(jù)OQ=OB=5,可得方程,解方程即可解決問題.

②如圖2中,由題意點(diǎn)D在以B為圓心5為半徑的OB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)A,D、B共線時(shí),線段AD最小,設(shè)OD與BQ交于點(diǎn)H.先求出D、H兩點(diǎn)坐標(biāo),再求出直線BH的解析式即可解決問題.

（1）把O（0，0），A（4，4）的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+．

所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；

（2）①由題意B（5，0），A（4，4），

∴直線OA的解析式為y=x，AB==7，

∵拋物線的對(duì)稱軸x=，

∴P（，）．

如圖1中，點(diǎn)O關(guān)于直線BQ的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C恰好在直線l上時(shí)，

∵QC∥OB，

∴∠CQB=∠QBO=∠QBC，

∴CQ=BC=OB=5，

∴四邊形BOQC是平行四邊形，

∵BO=BC，

∴四邊形BOQC是菱形，

設(shè)Q（m，），

∴OQ=OB=5，

∴m2+（）2=52，

∴m=±，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣，）或（，）；

②如圖2中，由題意點(diǎn)D在以B為圓心5為半徑的⊙B上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、D、B共線時(shí)，線段AD最小，設(shè)OD與BQ交于點(diǎn)H．

∵AB=7，BD=5，

∴AD=2，D（，），

∵OH=HD，

∴H（，），

∴直線BH的解析式為y=﹣x+，

當(dāng)y=時(shí)，x=0，

∴Q（0，）．