Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為C，以O(shè)C為直徑作⊙M，如果過拋物線上一點(diǎn)P作⊙M的切線PD，切點(diǎn)為D，且與y軸的正半軸交點(diǎn)為E，連接MD，已知E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），求四邊形EOMD的面積（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）延長DM交⊙M于點(diǎn)N，連接ON，OD，當(dāng)點(diǎn)P在（2）的條件下運(yùn)動到什么位置時，能使得四邊形EOMD和△DON的面積相等，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵拋物線過O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）三點(diǎn)，
∴

c=0 a+b+c=-3 a-b+c=5

，
解得

a=1 b=-4 c=0

；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）拋物線y=x²-4x與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為C（4，0），連接EM；
∴⊙M的半徑為2，即OM=DM=2；
∵ED、EO都是⊙M的切線，
∴EO=ED，△EOM≌△EDM；
∴S_{四邊形EOMD}=2S_△OME=2×

1

2

OM•OE=2m；

（3）延長DM交⊙M于點(diǎn)N，連接ON，OD，EM，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
∵S_△DON=2S_△DOM=2×

1

2

OM×y₀=2y₀，
當(dāng)S_{四邊形EOMD}=S_△DON時，即2m=2y₀，m=y₀；
∵m=y₀，ED∥x軸，
又∵ED為切線，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；
∵P在直線ED上，故設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，2），
∵P在拋物線上，
∴2=x²-4x，
解得x=2±

6

；
∴P（2+

6

，2）或P（2-

6

，2）為所求．