【題目】如圖,己知拋物線y=kx+1)(x﹣3k)(且k0)與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊,與Y軸交于C點(diǎn),連接BC,過A點(diǎn)作AECB交拋物線于E點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn).

1)用k表示點(diǎn)C的坐標(biāo)(0 );

2)若k=1,連接BE,

求出點(diǎn)E的坐標(biāo);

x軸上找點(diǎn)P,使以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似,求出P點(diǎn)坐標(biāo);

3)若在直線AE上存在唯一的一點(diǎn)Q,連接OQBQ,使OQBQ,求k的值.

【答案】1﹣3k2;24,5);,0)或(,0);3k=

【解析】

試題分析:1)只需把x=0代入拋物線的解析式,就可求出點(diǎn)C的坐標(biāo);

2只需先求出直線AE的解析式,再求出直線AE與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo),就可解決問題;AEBC可得EAB=ABC,然后分PBC∽△BAEPBC∽△EAB兩種情況進(jìn)行討論,運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

3)由OQBQ可知點(diǎn)Q在以OB為直徑的圓上,由于直線AE上存在唯一的一點(diǎn)Q,使得OQBQ,因此以OB為直徑的圓與直線AE相切,切點(diǎn)為Q,圓心記為O′,連接O′Q,如圖2,易證AQO′∽△BOC,然后只需用k的代數(shù)式表示OC、QO′、AO′BC,再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出k的值.

解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=k0+1)(0﹣3k=﹣3k2,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0﹣3k2).

故答案為:﹣3k2;

2k=1,

拋物線的解析式為y=x+1)(x﹣3).

當(dāng)x=0時(shí),y=﹣3,則點(diǎn)C0,﹣3),OC=3

當(dāng)y=0時(shí),x1=﹣1x2=3,

則點(diǎn)A﹣1,0),點(diǎn)B3,0),OA=1,OB=3

AECB∴△AODBOC,

=,

OD=1,即D0,1).

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,

,

解得:

直線AE的解析式為y=x+1,

聯(lián)立,

解得:,

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,5);

過點(diǎn)EEHx軸于H,如圖1,

OH=4,BH=5,AH=5AE==5

AEBC,∴∠EAB=ABC

.若PBC∽△BAE,則=

AB=4,BC==3,AE=5,

=,

BP=,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3﹣,0)即(,0);

.若PBC∽△EAB,則=,

=,

BP=,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3﹣,0)即(,0);

綜上所述:滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(0)或(,0);

3直線AE上存在唯一的一點(diǎn)Q,使得OQBQ

OB為直徑的圓與直線AE相切于點(diǎn)Q,圓心記為O′,連接O′Q,如圖2,

則有O′QAEO′Q=OO′=OB

當(dāng)x=0時(shí),y=k0+1)(0﹣3k=﹣3k2,則點(diǎn)C0﹣3k2),

當(dāng)y=0時(shí),kx+1)(x﹣3k=0,解得x1=﹣1,x2=3k,

則點(diǎn)A﹣10),B3k,0),

OB=3k,OA=1,OC=3k2,

O′Q=OO′=,O′A=+1,BC==3k

∵∠QAO′=OBC,AQO′=BOC=90°

∴△AQO′∽△BOC,

=

QO′BC=AO′OC,

3k=+13k2,

解得:k=

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