【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為F,DE與AB相交于點(diǎn)E.
(1)求證:ABAF=CBCD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是線段DE上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)DP=x cm,梯形BCDP的面積為ycm2 .
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
②y是否存在最大值?若有求出這個(gè)最大值,若不存在請說明理由.
【答案】證明:(1)∵AD=CD,DE⊥AC,
∴DE垂直平分AC,
∴AF=CF,∠DFA=∠DFC=90°,∠DAF=∠DCF.
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,
∴∠DCF=∠DAF=∠B.
在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B,
∴△DCF∽△ABC.
∴=,即=,
∴ABAF=CBCD;
(2)解:連接PB,
①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴AC==12,
∴CF=AF=6.
∴y=(x+9)×6=3x+27;
②由EF∥BC,得△AEF∽△ABC.
AE=BE=AB=,EF=.
由∠EAD=∠AFE=90°,∠AEF=∠DEA,得△AEF∽△DEA.
Rt△ADF中,AD=CD==10,AF=6,
∴DF=8.
∴DE=DF+FE=8+=.
∵y=3x+27(0≤x≤),函數(shù)值y隨著x的增大而增大,
∴當(dāng)x=時(shí),y有最大值,此時(shí)y=.
【解析】(1)先根據(jù)AD=CD,DE⊥AC判斷出DE垂直平分AC,再由線段垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出∠DCF=∠DAF=∠B,在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B可知△DCF∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出答案;
(2)①先根據(jù)勾股定理求出AC的長,再由梯形的面積公式即可得出x、y之間的函數(shù)關(guān)系式;
②由EF∥BC,得△AEF∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AB、EF的長,進(jìn)而可得出△AEF∽△DEA及DF的長,根據(jù)DE=DF+FE可求出DE的長,由①中的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校七年級(1)班體育委員統(tǒng)計(jì)了全班同學(xué)60秒跳繩次數(shù),并列出了下面的不完整頻數(shù)分布表和不完整的頻數(shù)分布直方圖.根據(jù)圖表中的信息解答問題
組別 | 跳繩次數(shù) | 頻數(shù) |
A | 60≤x<80 | 2 |
B | 80≤x<100 | 6 |
C | 100≤x<120 | 18 |
D | 120≤x<140 | 12 |
E | 140≤x<160 | a |
F | 160≤x<180 | 3 |
G | 180≤x<200 | 1 |
合計(jì) | 50 |
(1)求a的值;
(2)求跳繩次數(shù)x在120≤x<180范圍內(nèi)的學(xué)生的人數(shù);
(3)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖,并指出組距與組數(shù)分別是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把一根繩子對折成線段AB,從點(diǎn)P處把繩子剪斷,已知AP:BP=2:3,若剪斷后的各段繩子中最長的一段為60 cm,求繩子的原長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠MON=30°,點(diǎn)A1,A2,A3,…在射線ON上,點(diǎn)B1,B2,B3,…在射線OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均為等邊三角形,若OA2=4,則△AnBnAn+1的邊長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C在線段AB上,AC=8cm,CB=6cm,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn).
(1)求線段MN的長;
(2)若C為線段AB上任一點(diǎn),滿足AC+CB=acm,其它條件不變,你能猜想MN的長度嗎?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx﹣的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣3,0)和點(diǎn)B,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接DP,過點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.
(1)b的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)。
(2)線段AO上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)P不與A、O重合),使得OE的長為1;
(3)在x軸負(fù)半軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PED是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,其對稱軸為直線x=﹣1,給出下列結(jié)論:(1)b2>4ac; (2)abc>0;(3)2a+b=0;(4)a+b+c>0;(5)a﹣b+c<0.其中正確的結(jié)論有( )
A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:AB是⊙O的直徑,DA、DC分別是⊙O的切線,點(diǎn)A、C是切點(diǎn),連接DO交弧AC于點(diǎn)E,連接AE、CE.
(1)如圖1,求證:EA=EC;
(2)如圖2,延長DO交⊙O于點(diǎn)F,連接CF、BE交于點(diǎn)G,求證:∠CGE=2∠F;
(3)如圖3,在(2)的條件下,DE=AD,EF=2 , 求線段CG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖菱形ABCD中,∠ADC=60°,M、N分別為線段AB,BC上兩點(diǎn),且BM=CN,且AN,CM所在直線相交于E.
(1)證明△BCM≌△CAN;
(2)∠AEM= °;
(3)求證DE平分∠AEC;
(4)試猜想AE,CE,DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.
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