在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角?(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于點(diǎn)E,A1C1分別交AC,BC于D,F兩點(diǎn).(12分)

圖(a)                                     圖(b)
(1)如圖(a),觀察并猜想,在旋轉(zhuǎn)過程中,線段EA1與FC是怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)如圖(b),當(dāng)α=30°時(shí),試判斷四邊形BC1DA的形狀,并說明理由;
(3)在(2)的情況下,求ED的長.
(1)EA1=FC.理由見解析;(2)四邊形BC1DA是菱形.理由見解析;(3)ED=2﹣

試題分析:(1)根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠A=∠C,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,然后利用“角邊角”證明△ABE和△C1BF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=BF,從而得解;
(2)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠ABC1=150°,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行求出AB∥C1D,AD∥BC1,證明四邊形BC1DA是平行四邊形,又因?yàn)猷忂呄嗟?所以四邊形BC1DA是菱形;
(3)過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G,等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AG=BG=1,然后解直角三角形求出AE的長度,再利用DE=AD﹣AE計(jì)算即可得解.
試題解析:(1)EA1=FC.理由如下:
∵AB=BC,∴∠A=∠C,
∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得△A1BC1,
∴∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,
在△ABE和△C1BF中,,
∴△ABE≌△C1BF(ASA),
∴BE=BF,
∴A1B﹣BE=BC﹣BF,
即EA1=FC;
(2)四邊形BC1DA是菱形.理由如下:
∵旋轉(zhuǎn)角α=30°,∠ABC=120°,
∴∠ABC1=∠ABC+α=120°+30°=150°,
∵∠ABC=120°,AB=BC,
∴∠A=∠C=(180°﹣120°)=30°,
∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°,
∠ABC1+∠A=150°+30°=180°,
∴AB∥C1D,AD∥BC1,
∴四邊形BC1DA是平行四邊形,
又∵AB=BC1,
∴四邊形BC1DA是菱形;
(3)過點(diǎn)E作EG⊥AB,
∵∠A=∠ABA1=30°,
∴AG=BG=AB=1,
在Rt△AEG中,AE=,
由(2)知AD=AB=2,
∴ED=AD﹣AE=2﹣
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣2,0),等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD.

(1)△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是     個(gè)單位長度;
(2)△AOC與△BOD關(guān)于直線對(duì)稱,則對(duì)稱軸是       ;
(3)△AOC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到△DOB,則旋轉(zhuǎn)角度是         度,在此旋轉(zhuǎn)過程中,△AOC掃過的圖形的面積是         

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=4,OC=2.點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),連接DP、DA.

(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求t為何值時(shí),△DPA的面積最大,最大為多少?
(3)在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中,△DPA能否成為直角三角形?若能,求t的值.
若不能,請(qǐng)說明理由;
(4)請(qǐng)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.畫出圖形,直接寫出點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)請(qǐng)直接寫出:以為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

民族圖案是數(shù)學(xué)文化中的一塊瑰寶.下列圖案中,既不是中心對(duì)稱圖形也不是軸對(duì)稱圖形的是(   )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在下列圖形中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是(   )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列圖形中,既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是(      )
A.等邊三角形B.直角三角形C.平行四邊形D.圓

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列圖案既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是( ) 

A.          B.        C.          D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列圖形中,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(   ).
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案