已知:矩形ABCD中,AB=6,AD=8,將矩形頂點B沿GF折疊,使B落在AD上(不與A、D重合)的E處,點G、F分別在AB、BC上.
(1)不論點E在何處,試判斷△BFE的形狀;
(2)若AG:GB=1:2時,求證:EG平分∠AEB;
(3)若=,試求BF的長.

【答案】分析:(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BF=EF,然后判定為等腰三角形;
(2)先求出AG、BG的長,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EG=BG,利用勾股定理列式求出AE,然后求出=,證明得到△ABE和△AEG相似,再利用相似三角形對應(yīng)角相等可得∠AEG=∠ABE,再根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠BEG,然后求出∠AEG=∠BEG,根據(jù)角平分線定義證明即可;
(3)求出AG、BG的長,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EG=BG,利用勾股定理列式求出AE,再求出△ABE和△BFG相似,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解.
解答:(1)證明:∵矩形頂點B沿GF折疊B落在AD上(不與A、D重合)的E處,
∴BF=EF,
∴△BEF是等腰三角形;

(2)證明:∵AG:GB=1:2,AB=6,
∴AG=6×=2,GB=6×=4,
由翻折性質(zhì),EG=BG=4,
在Rt△AGE中,AE===2,
==,
==
=,
又∵∠A=∠A,
∴△ABE∽△AEG,
∴∠AEG=∠ABE,
由EG=BF得,∠ABE=∠BEG,
∴∠AEG=∠BEG,
∴EG平分∠AEB;

(3)解:∵=,AB=6,
∴AG=6×=,BG=6×=,
由翻折性質(zhì),EG=BG=,
在Rt△AGE中,AE===,
由翻折的性質(zhì),∠EBF+∠BFG=90°,
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠BFG,
又∵∠A=∠ABF=90°,
∴△ABE∽△BFG,
=,
=
解得BF=
點評:本題考查了翻折的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)翻折變換求出線段的長度,然后求出三角形相似是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點.
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1
3
AC且AD=a,求的AE長(用含a的代數(shù)式表示);
(2)在(1)中,直線l把矩形分成兩部分的面積比為2:5,求a的值;
(3)若AM=
1
4
AC,且直線l經(jīng)過點B(如圖2),求AD的長;
(4)如果直線l分別與邊AD,AB相交于點E,F(xiàn),AM=
1
4
AC,設(shè)AD的長為x,△AEF的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍(求x的取值范圍可不寫過程).精英家教網(wǎng)

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12
.求:
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